Table 2.

Simulation results with interval-censored data, including the estimated bias (Bias), the sample standard error (SSE) of the estimates, the average of the standard error estimates (SEE), and the 95% empirical coverage probability (CP)

			Proposed method					CL method					Ignoring truncation
n	Par	True	Bias	SSE	SEE	CP		Bias	SSE	SEE	CP		Bias	SSE	SEE	CP
$A^{\ast }$ follows the uniform distribution
100	${\beta }_1$	1	0.057	0.253	0.258	96.1		0.100	0.302	0.262	89.5		0.212	0.290	0.323	93.3
	${\beta }_2$	1	0.079	0.408	0.411	95.2		0.114	0.510	0.427	87.4		0.214	0.471	0.451	88.2
	$\mathrm{\Lambda }(0.4)$	0.16	0.013	0.103	0.104	94.0		0.009	0.103	–	–		-0.076	0.052	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(0.8)$	0.64	-0.053	0.186	0.184	93.9		-0.039	0.185	–	–		-0.236	0.113	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(1.2)$	1.44	-0.033	0.306	0.301	92.1		-0.065	0.308	–	–		-0.431	0.230	–	–
300	${\beta }_1$	1	0.025	0.134	0.132	93.9		0.042	0.155	0.150	93.1		0.154	0.149	0.209	90.3
	${\beta }_2$	1	0.016	0.212	0.214	95.3		0.032	0.249	0.244	93.2		0.169	0.250	0.240	83.4
	$\mathrm{\Lambda }(0.4)$	0.16	0.023	0.075	0.073	96.5		0.022	0.076	–	–		-0.068	0.034	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(0.8)$	0.64	-0.006	0.131	0.132	94.2		0.002	0.127	–	–		-0.224	0.069	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(1.2)$	1.44	-0.021	0.229	0.222	95.2		-0.017	0.225	–	–		-0.427	0.139	–	–
500	${\beta }_1$	1	0.005	0.100	0.100	96.1		0.017	0.121	0.115	94.3		0.132	0.107	0.189	86.6
	${\beta }_2$	1	0.022	0.165	0.163	93.6		0.036	0.202	0.189	91.8		0.148	0.188	0.179	75.4
	$\mathrm{\Lambda }(0.4)$	0.16	0.019	0.059	0.055	93.9		0.018	0.063	–	–		-0.066	0.028	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(0.8)$	0.64	-0.014	0.098	0.101	95.1		-0.008	0.097	–	–		-0.222	0.057	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(1.2)$	1.44	-0.022	0.186	0.182	94.6		-0.019	0.189	–	–		-0.429	0.107	–	–
$A^{\ast }$ follows the exponential distribution
100	${\beta }_1$	1	0.084	0.250	0.266	96.8		0.115	0.292	0.259	88.9		0.164	0.273	0.309	94.2
	${\beta }_2$	1	0.084	0.411	0.428	96.3		0.125	0.484	0.424	88.9		0.162	0.449	0.437	90.9
	$\mathrm{\Lambda }(0.4)$	0.16	0.008	0.096	0.101	96.2		0.007	0.097	–	–		-0.062	0.056	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(0.8)$	0.64	-0.046	0.178	0.174	93.6		-0.05	0.179	–	–		-0.169	0.134	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(1.2)$	1.44	-0.043	0.289	0.303	93.5		-0.037	0.290	–	–		-0.267	0.272	–	–
300	${\beta }_1$	1	0.030	0.136	0.135	94.3		0.046	0.152	0.145	92.5		0.126	0.145	0.179	91.4
	${\beta }_2$	1	0.019	0.223	0.221	94.9		0.034	0.254	0.239	93.0		0.136	0.248	0.218	82.1
	$\mathrm{\Lambda }(0.4)$	0.16	0.021	0.066	0.068	95.9		0.023	0.067	–	–		-0.056	0.035	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(0.8)$	0.64	-0.012	0.117	0.116	94.4		-0.005	0.119	–	–		-0.169	0.079	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(1.2)$	1.44	-0.027	0.206	0.211	95.1		-0.235	0.205	–	–		-0.288	0.161	–	–
500	${\beta }_1$	1	0.014	0.105	0.102	94.5		0.024	0.116	0.111	93.5		0.100	0.110	0.187	90.4
	${\beta }_2$	1	0.017	0.168	0.168	95.0		0.027	0.191	0.185	94.2		0.103	0.190	0.185	82.7
	$\mathrm{\Lambda }(0.4)$	0.16	0.019	0.054	0.052	97.7		0.017	0.054	–	–		-0.055	0.027	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(0.8)$	0.64	-0.006	0.096	0.099	96.5		-0.003	0.094	–	–		-0.169	0.063	–	–
	$\mathrm{\Lambda }(1.2)$	1.44	-0.002	0.184	0.184	95.1		-0.200	0.186	–	–		-0.288	0.131	–	–

Note: “Proposed method” denotes the proposed pairwise pseudo-likelihood method, “CL method” denotes the conditional likelihood method, and “Ignoring truncation” denotes the NPMLE approach that ignores the existence of left truncation