Table 1.

Initial and boundary conditions for proposed model.

Equation	Initial and boundary conditions
Momentum conservation (1) and (2)	$$\begin{array}{c}\mathrm{Initial}\mathrm{condition}:{\mathrm{p}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{t}=0}={\mathrm{P}}_{\mathrm{atm}},{\mathbf{V}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{t}=0}=0\\ {\mathrm{p}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{y}=0..\mathrm{h}}={\mathrm{p}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=\mathrm{l},\mathrm{y}=0,\mathrm{h}}={\mathrm{P}}_{\mathrm{atm}}\\ \begin{array}{c}\mathbf{V}{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{l},\mathrm{y}=0}=0,\mathrm{non}\mathrm{slip}\\ \mathbf{n}\bullet \mathbf{V}{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{l},\mathrm{y}=\mathrm{h}}=0,\mathrm{symmetry}\end{array}\end{array}$$ (6)
Electric current conservation (3)	$$\begin{array}{c}\mathrm{Initial}\mathrm{condition}:\mathrm{\phi }{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{t}=0}=0\\ \mathrm{\phi }{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{y}=0,\mathrm{h}}={{\mathrm{\phi }}_{\mathrm{ext}},\mathrm{\phi }\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=\mathrm{l},\mathrm{y}=0,\mathrm{h}}=0\\ \begin{array}{c}{\mathrm{\phi }\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{l},\mathrm{y}=0}=\mathbf{n}\bullet \mathbf{J}=0\\ \mathrm{\phi }{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{l},\mathrm{y}=\mathrm{h}}=\mathbf{n}\bullet \mathbf{J}=0\end{array}\end{array}$$ (7)
Ion concentration conservation (4)	$$\begin{array}{c}\mathrm{Initial}\mathrm{condition}:\mathrm{C}{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{t}=0,}={\mathrm{C}}_{\mathrm{bulk}}\\ \mathrm{C}{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{y}=0,\mathrm{h}}{=\mathrm{C}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=\mathrm{l},\mathrm{y}=0,\mathrm{h}}={\mathrm{C}}_{\mathrm{bulk}}\\ \begin{array}{c}\mathrm{C}{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{l},\mathrm{y}=0}=\mathbf{n}\bullet \nabla \mathrm{C}=0\\ \mathrm{C}{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{l},\mathrm{y}=\mathrm{h}}=\mathbf{n}\bullet \nabla \mathrm{C}=0\end{array}\end{array}$$ (8)
Electrostatic (5)	$$\begin{array}{c}\mathrm{Initial}\mathrm{condition}:\mathrm{\phi }{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{t}=0}=0\\ {\mathrm{\phi }\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{y}=0,\mathrm{h}}={\mathrm{\phi }\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=\mathrm{l},\mathrm{y}=0,\mathrm{h}}=\mathbf{n}\bullet \nabla {\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{r}}{\mathrm{\epsilon }}_0\left(\nabla \mathrm{\phi }\right)=0\\ \begin{array}{c}\mathrm{\phi }{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{l},\mathrm{y}=0}=\mathbf{n}\bullet \nabla {\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{r}}{\mathrm{\epsilon }}_0\left(\nabla \mathrm{\phi }\right)={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{s}}\\ \mathrm{\phi }{\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)|}_{\mathrm{x}=0,\mathrm{l},\mathrm{y}=\mathrm{h}}=\mathbf{n}\bullet \nabla {\mathrm{\epsilon }}_{\mathrm{r}}{\mathrm{\epsilon }}_0\left(\nabla \mathrm{\phi }\right)=0\end{array}\end{array}$$ (9)