Skip to main content
. 2025 Aug 25;15:31162. doi: 10.1038/s41598-025-15334-9

Table 2.

Estimated MSE for different estimators at p = 3 and Inline graphic.

Inline graphic n PIGMLE PIGRRE PIGGRE
MLE Inline graphic Inline graphic Inline graphic Inline graphic Inline graphic Inline graphic Inline graphic Inline graphic Inline graphic Inline graphic
0.80 30 1.50903 1.24908 1.05844 1.19373 0.93372 0.78300 0.64993 0.51268 0.38956 0.80052 0.59035
75 0.43763 0.35645 0.30387 0.33531 0.24895 0.20746 0.16700 0.12728 0.10926 0.16970 0.14486
150 0.17445 0.16225 0.15243 0.15606 0.12085 0.10453 0.08896 0.07361 0.06486 0.08581 0.08132
200 0.13210 0.12172 0.11362 0.11633 0.08769 0.07615 0.06554 0.05902 0.05903 0.06267 0.06149
300 0.09989 0.09490 0.09065 0.09181 0.07149 0.06248 0.05440 0.04846 0.04628 0.05124 0.05142
400 0.06679 0.06459 0.06261 0.06302 0.05011 0.04448 0.03945 0.03627 0.03584 0.03737 0.03779
0.85 30 1.33903 1.03215 0.81491 0.93519 0.67985 0.54769 0.43190 0.31404 0.23184 0.52534 0.37503
75 0.65692 0.57372 0.51132 0.55719 0.43693 0.36691 0.30437 0.23738 0.17464 0.34472 0.27680
150 0.22981 0.20421 0.18578 0.19403 0.14468 0.12191 0.10076 0.08150 0.07053 0.09801 0.09105
200 0.19751 0.18076 0.16739 0.17354 0.13115 0.11071 0.09180 0.07249 0.05783 0.08903 0.08302
300 0.10427 0.09946 0.09528 0.09643 0.07626 0.06648 0.05727 0.04806 0.04097 0.05369 0.05319
400 0.09503 0.09069 0.08688 0.08787 0.06831 0.05898 0.05041 0.04229 0.03676 0.04573 0.04674
0.90 30 3.58361 2.85458 2.30876 2.54826 1.56711 1.20000 0.95493 0.74698 0.54494 1.36040 0.87907
75 0.88513 0.74347 0.64152 0.72270 0.53783 0.43328 0.34501 0.25344 0.17309 0.41951 0.30692
150 0.35437 0.29885 0.26082 0.28156 0.19809 0.15990 0.12506 0.08985 0.06812 0.12571 0.10756
200 0.22758 0.20208 0.18371 0.19342 0.14633 0.12096 0.09833 0.07481 0.05595 0.09713 0.08806
300 0.14540 0.13580 0.12779 0.13047 0.09861 0.08297 0.06836 0.05235 0.03993 0.06313 0.06118
400 0.14155 0.13121 0.12290 0.12548 0.09150 0.07649 0.06253 0.04802 0.03815 0.05602 0.05570
0.95 30 3.97676 3.08556 2.44899 2.73670 1.69227 1.27262 0.96068 0.68571 0.46335 1.43603 0.84215
75 1.20052 0.87025 0.65469 0.80304 0.53416 0.40297 0.29942 0.20375 0.13700 0.38052 0.25500
150 0.70068 0.56333 0.46752 0.53661 0.36893 0.28392 0.21534 0.14823 0.09576 0.24890 0.18634
200 0.45861 0.38447 0.33131 0.36771 0.25950 0.20289 0.15709 0.11229 0.07600 0.17257 0.13814
300 0.30176 0.26922 0.24446 0.25939 0.19246 0.15486 0.12314 0.09034 0.05957 0.12884 0.11027
400 0.21079 0.18927 0.17206 0.18030 0.12914 0.10319 0.08094 0.05781 0.03919 0.07693 0.07099
0.99 30 31.38604 22.74318 16.44907 17.68168 4.77521 2.92910 1.88350 1.14688 0.61308 5.07014 1.57104
75 6.78964 4.53029 2.91014 3.48779 1.20196 0.74147 0.45384 0.23894 0.13677 0.88678 0.34049
150 3.38447 2.79009 2.31554 2.60513 1.43551 0.98270 0.68667 0.44689 0.23208 1.15075 0.60028
200 2.08629 1.47794 1.05982 1.31217 0.73104 0.49374 0.33699 0.20953 0.11263 0.50359 0.28436
300 1.58204 1.05168 0.70881 0.90450 0.41763 0.26520 0.16730 0.09091 0.05055 0.21931 0.12933
400 1.01811 0.70303 0.50180 0.63887 0.35199 0.23691 0.15914 0.09560 0.05173 0.19491 0.13119

Bolded values indicate the lowest MSE.