Table 1.

Constants for theoretical modeling of different cantilevers

Circular hole cantilever

Ring shell cantilever

$D=\frac{E{h}^3}{12\left(1-v^2\right)}$ $C_1=\frac{1+v}{2}\frac{b}{a}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{a}{b}\right)+\frac{1-v}{4}\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)$ $C_6=\frac{b}{4a}\left[{\left(\frac{b}{a}\right)}^2-1+2\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{a}{b}\right)\right]$ $L_3=\frac{b}{4a}\left\{\left[{\left(\frac{b}{a}\right)}^2+1\right]\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{a}{b}\right)+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2-1\right\}$ $L_6=\frac{b}{4a}\left[{\left(\frac{b}{a}\right)}^2-1+2\cdot \mathrm{l}\mathrm{n}\left(\frac{a}{b}\right)\right]$

$D=\frac{E{h}^3}{12\left(1-v^2\right)}$ $\lambda ={\left[\frac{3\left(1-v^2\right)}{r^2{h}^2}\right]}^{\frac{1}{4}}$ $C_1=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\lambda l\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\lambda l\right)$ $C_2=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\lambda l\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\lambda l\right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(\lambda l\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\lambda l\right)$ $C_3=\mathrm{s}inh\left(\lambda l\right)\sin \left(\lambda l\right)$ $C_4=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}\left(\lambda l\right)\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\lambda l\right)-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}h\left(\lambda l\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\lambda l\right)$ $C_{11}={\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}}^2\left(\lambda l\right)-{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}}^2\left(\lambda l\right)$