. Author manuscript; available in PMC: 2010 Dec 27.

Published in final edited form as: Stat Med. 2010 Jun 30;29(14):1522–1538. doi: 10.1002/sim.3902

Table I.

Simulation results without validation data (N_sim =1000,N_bs = 150); per cent bias of β̂, 100(β̂−β)/ |β| (Bias), standard error for β̂ (SE), empirical standard error for β̂ (ESE), and 95 per cent confidence interval coverage per cent (95 per cent CI Cov.)

n	True β⁽⁰⁾	Assumed β⁽⁰⁾	Method	Assumed $ρ_{(sp)}^{(r)}$	β₁ (continuous)				β₂(binary)
n	True β⁽⁰⁾	Assumed β⁽⁰⁾	Method	Assumed $ρ_{(sp)}^{(r)}$	Bias	SE	ESE	95 per cent CI Cov.	Bias	SE	ESE	95 per cent CI Cov.
100	β⁽¹⁾	β⁽¹⁾	Subject Only	—	<1	0.127	0.127	95.2	<1	0.274	0.275	94.6
		α⁽⁰⁾	Subject+Proxy	—	−39	0.109	0.117	7.6	19	0.259	0.255	89.2
		β⁽¹⁾	ML-Model 1	—	<1	0.127	0.128	94.7	<1	0.270	0.273	94.6
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.5	<1	0.130	0.137	94.0	<1	0.279	0.279	94.5
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.8	<1	0.130	0.131	94.0	<1	0.279	0.274	95.3
		α⁽⁰⁾	ML-Model 2	—	−39	0.115	0.117	9.6	19	0.251	0.259	88.3
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.5	−38	0.126	0.121	13.3	19	0.289	0.263	91.5
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.8	−38	0.114	0.120	9.5	19	0.267	0.256	89.7
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 2	—	33	0.118	0.119	22.7	−39	0.271	0.274	69.4
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.5	34	0.130	0.123	25.3	−35	0.300	0.278	79.2
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.8	35	0.120	0.116	17.8	−36	0.279	0.264	75.8
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.5	−37	0.173	0.172	42.8	17	0.341	0.349	91.1
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.8	−37	0.144	0.148	27.8	16	0.269	0.278	90.5
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.5	−36	0.171	0.179	44.9	17	0.349	0.351	91.6
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.8	−36	0.139	0.147	29.7	18	0.274	0.270	90.5
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.5	37	0.263	0.258	80.1	−44	0.414	0.402	87.3
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.8	40	0.251	0.243	73.9	−43	0.360	0.336	85.0
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.5	39	0.257	0.266	79.9	−39	0.406	0.396	89.7
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.8	41	0.241	0.245	73.7	−40	0.347	0.322	87.0
100	α⁽⁰⁾	β⁽¹⁾	Subject Only	—	63	0.127	0.128	14.4	−16	0.274	0.272	89.9
		α⁽⁰⁾	Subject+Proxy	—	<1	0.109	0.119	92.3	<1	0.258	0.256	95.0
		β⁽¹⁾	ML-Model 1	—	62	0.127	0.129	16.9	−17	0.271	0.274	87.7
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.5	63	0.127	0.133	18.3	−17	0.278	0.285	88.1
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.8	63	0.129	0.139	20.4	−17	0.277	0.280	89.0
		α⁽⁰⁾	ML-Model 2	—	<1	0.116	0.119	93.5	<1	0.250	0.256	94.0
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.5	<1	0.126	0.119	96.3	<1	0.287	0.259	96.8
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.8	<1	0.114	0.120	93.6	<1	0.267	0.271	94.3
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 2	—	118	0.118	0.117	0.0	−47	0.270	0.275	45.6
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.5	120	0.130	0.124	0.0	−47	0.300	0.272	54.1
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.8	120	0.121	0.124	0.0	−45	0.280	0.271	49.7
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.5	3	0.175	0.176	94.6	−1	0.342	0.334	94.9
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.8	2	0.147	0.147	95.0	−1	0.267	0.270	94.5
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.5	4	0.170	0.177	95.5	−1	0.346	0.339	95.8
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.8	4	0.141	0.156	92.1	−2	0.274	0.285	93.2
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.5	128	0.268	0.259	7.4	−51	0.417	0.401	74.8
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.8	127	0.248	0.229	2.5	−51	0.358	0.333	64.1
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.5	129	0.257	0.272	11.0	−51	0.407	0.408	73.6
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.8	129	0.242	0.244	4.8	−49	0.346	0.326	64.2
100	α⁽⁰⁾+0.75	β⁽¹⁾	Subject Only	—	−26	0.127	0.129	22.8	57	0.275	0.276	73.4
		α⁽⁰⁾	Subject+Proxy	—	−54	0.109	0.117	0.0	87	0.258	0.252	42.3
		β⁽¹⁾	ML-Model 1	—	−26	0.127	0.128	20.7	54	0.272	0.278	74.0
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.5	−25	0.128	0.135	30.0	55	0.276	0.291	75.4
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.8	−26	0.130	0.134	28.7	57	0.277	0.286	73.6
		α⁽⁰⁾	ML-Model 2	—	−55	0.116	0.119	0.0	84	0.250	0.252	43.2
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.5	−54	0.125	0.118	0.1	87	0.290	0.262	52.0
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.8	−54	0.114	0.123	0.0	86	0.267	0.261	46.7
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 2	—	<1	0.118	0.115	94.7	<1	0.271	0.266	95.2
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.5	<1	0.130	0.121	97.2	1	0.303	0.271	97.3
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.8	<1	0.120	0.116	95.7	2	0.279	0.281	94.4
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.5	−53	0.176	0.177	3.2	83	0.342	0.347	66.1
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.8	−53	0.144	0.146	0.1	80	0.268	0.261	50.5
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.5	−53	0.170	0.176	5.0	84	0.347	0.353	65.6
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.8	−52	0.139	0.152	0.9	84	0.273	0.273	51.4
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.5	3	0.268	0.258	95.5	−6	0.417	0.387	97.2
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.8	2	0.244	0.216	96.3	−5	0.352	0.320	97.1
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.5	5	0.261	0.271	95.4	−6	0.412	0.410	97.3
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.8	3	0.237	0.241	95.7	−4	0.341	0.347	95.5
250	β⁽¹⁾	β⁽¹⁾	Subject Only	—	<1	0.079	0.082	94.1	<1	0.172	0.172	94.5
		α⁽⁰⁾	Subject+Proxy	—	−39	0.069	0.073	0.1	19	0.163	0.160	79.5
		β⁽¹⁾	ML-Model 1	—	<1	0.080	0.080	94.6	<1	0.171	0.175	94.3
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.5	<1	0.081	0.081	95.5	<1	0.176	0.173	96.1
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.8	<1	0.081	0.080	95.8	1	0.175	0.182	94.2
		α⁽⁰⁾	ML-Model 2	—	−39	0.074	0.076	0.0	17	0.159	0.159	80.2
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.5	−39	0.079	0.078	0.1	20	0.180	0.167	81.1
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.8	−39	0.071	0.076	0.0	20	0.166	0.163	79.5
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 2	—	34	0.073	0.072	0.4	−36	0.170	0.170	41.5
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.5	34	0.081	0.076	1.2	−36	0.188	0.172	53.4
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.8	34	0.074	0.076	0.5	−35	0.174	0.170	47.1
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.5	−37	0.107	0.111	7.8	15	0.209	0.207	87.7
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.8	−38	0.088	0.086	0.6	17	0.165	0.167	81.0
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.5	−39	0.104	0.109	9.1	19	0.216	0.216	84.1
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.8	−38	0.085	0.090	2.1	19	0.170	0.168	79.6
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.5	37	0.154	0.159	31.9	−40	0.241	0.236	63.3
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.8	36	0.140	0.141	21.9	−38	0.202	0.219	53.9
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.5	37	0.156	0.161	42.0	−38	0.242	0.244	70.6
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.8	36	0.141	0.141	29.9	−36	0.200	0.196	58.2
250	α⁽⁰⁾	β⁽¹⁾	Subject Only	—	63	0.079	0.081	0.4	−16	0.172	0.172	80.7
		α⁽⁰⁾	Subject+Proxy	—	<1	0.068	0.073	93.8	<1	0.162	0.160	95.7
		β⁽¹⁾	ML-Model 1	—	63	0.079	0.079	0.4	−17	0.171	0.170	78.3
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.5	64	0.081	0.083	0.5	−16	0.174	0.175	81.8
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.8	64	0.081	0.082	0.7	−16	0.175	0.174	81.1
		α⁽⁰⁾	ML-Model 2	—	<1	0.074	0.075	93.8	<1	0.159	0.160	94.1
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.5	<1	0.078	0.073	96.9	<1	0.180	0.170	96.2
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.8	<1	0.071	0.075	94.0	<1	0.166	0.161	96.2
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 2	—	119	0.073	0.072	0.0	−47	0.170	0.169	9.5
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.5	120	0.081	0.077	0.0	−46	0.188	0.170	16.2
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.8	119	0.074	0.073	0.0	−46	0.174	0.166	11.5
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.5	2	0.106	0.108	93.9	<1	0.209	0.214	95.2
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.8	<1	0.087	0.087	94.5	<1	0.165	0.161	94.1
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.5	1	0.104	0.108	93.8	<1	0.215	0.225	94.0
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.8	<1	0.085	0.087	94.7	<1	0.170	0.166	95.3
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.5	122	0.152	0.148	0.0	−48	0.238	0.236	31.3
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.8	122	0.141	0.135	0.0	−48	0.201	0.186	14.5
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.5	122	0.153	0.159	0.0	−47	0.240	0.236	37.5
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.8	122	0.142	0.142	0.0	−47	0.202	0.190	17.3
250	α⁽⁰⁾+0.75	β⁽¹⁾	Subject Only	—	−26	0.079	0.080	1.2	57	0.172	0.170	43.4
		α⁽⁰⁾	Subject+Proxy	—	−54	0.069	0.074	0.0	86	0.163	0.160	7.5
		β⁽¹⁾	ML-Model 1	—	−26	0.079	0.079	0.9	54	0.171	0.171	47.0
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.5	−26	0.081	0.081	3.1	57	0.175	0.174	48.2
		β⁽¹⁾	MI-Model 1	0.8	−26	0.081	0.083	1.6	58	0.175	0.173	45.2
		α⁽⁰⁾	ML-Model 2	—	−55	0.074	0.075	0.0	85	0.159	0.160	8.0
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.5	−55	0.079	0.076	0.0	86	0.181	0.162	12.6
		α⁽⁰⁾	MI-Model 2	0.8	−54	0.071	0.075	0.0	87	0.166	0.158	9.0
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 2	—	<1	0.073	0.073	94.7	<1	0.170	0.174	94.1
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.5	<1	0.082	0.076	96.1	1	0.189	0.177	96.3
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 2	0.8	<1	0.074	0.075	94.3	<1	0.174	0.174	94.6
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.5	−55	0.106	0.105	0.1	85	0.209	0.212	26.4
		α⁽⁰⁾	ML-Model 3	0.8	−54	0.088	0.087	0.0	83	0.165	0.163	11.4
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.5	−54	0.105	0.110	0.0	86	0.216	0.216	29.5
		α⁽⁰⁾	MI-Model 3	0.8	−54	0.085	0.091	0.0	86	0.170	0.162	10.5
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.5	1	0.153	0.147	95.3	−1	0.241	0.246	94.2
		α⁽⁰⁾+0.75	ML-Model 3	0.8	1	0.140	0.143	94.2	−2	0.201	0.197	96.0
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.5	1	0.153	0.158	95.0	−1	0.241	0.241	95.2
		α⁽⁰⁾+0.75	MI-Model 3	0.8	2	0.143	0.142	95.4	−3	0.204	0.204	95.8

‘Subject Only’ refers to linear regression with only observed subject data, ‘Subject + Proxy’ refers to linear regression where proxy data substitutes for missing subject data, ML=maximum likelihood, MI=multiple imputation.