Table 9.
The mean and standard deviation of the IGD value of the four advanced many-objective evolutionary optimization algorithms on the DTLZ test problems. The best value for each test case is highlighted with a bold background.
| Problem | M | NSGAIII | MOMBIII | RPEA | MyODEMR | CMaPSO |
|---|---|---|---|---|---|---|
| DTLZ1 | 3 | 2.0565e − 2(1.04e − 5)+ | 2.0619e − 2(8.18e − 5)+ | 1.6814e − 1(5.04e − 2)− | 4.2157e − 2(3.41e − 2)− | 2.2047e − 2(2.92e − 4) |
| 5 | 6.3383e − 2(5.69e − 5)+ | 6.6678e − 2(9.94e − 3)− | 1.8383e − 1(3.37e − 2)− | 8.7627e − 2(2.86e − 2)− | 6.4419e − 2(5.43e − 3) | |
| 8 | 1.1143e − 1(1.83e − 2)= | 2.1921e − 1(2.54e − 2)− | 2.4231e − 1(2.91e − 2)− | 2.0962e − 1(2.52e − 2)− | 1.0696e − 1(5.96e − 3) | |
| 10 | 1.6571e − 1(5.13e − 2)− | 2.1222e − 1(3.29e − 2)− | 2.5486e − 1(3.20e − 2)− | 3.3665e − 1(6.77e − 2)− | 1.3077e − 1(1.58e − 2) | |
| 15 | 1.8382e − 1(1.10e − 1)− | 2.7085e − 1(1.26e − 2)− | 2.6497e − 1(4.63e − 2)− | 1.3754e − 1(2.15e − 2)= | 1.3692e − 1(8.31e − 3) | |
|
| ||||||
| DTLZ2 | 3 | 5.4464e − 2(4.13e − 7)+ | 5.4492e − 2(7.81e − 6)+ | 1.0882e − 1(5.73e − 3)− | 6.9240e − 2(3.21e − 3)− | 6.0866e − 2(1.22e − 3) |
| 5 | 1.9490e − 1(8.21e − 6)= | 1.9522e − 1(2.60e − 4)= | 2.8356e − 1(3.09e − 2)− | 2.0436e − 1(2.42e − 3)− | 1.9415e − 1(1.20e − 3) | |
| 8 | 3.6070e − 1(9.57e − 2)= | 3.2542e − 1(7.00e − 4)+ | 3.8254e − 1(1.06e − 2)− | 3.5330e − 1(4.43e − 3)= | 3.5837e − 1(1.79e − 3) | |
| 10 | 5.0117e − 1(7.63e − 2)− | 4.5504e − 1(9.49e − 4)− | 4.4131e − 1(8.14e − 3)− | 4.2515e − 1(5.01e − 3)= | 4.2631e − 1(2.22e − 3) | |
| 15 | 6.6601e − 1(7.66e − 2)− | 7.9236e − 1(6.58e − 2)− | 5.4126e − 1(2.56e − 3)− | 5.6685e − 1(1.61e − 2)− | 4.9904e − 1(1.88e − 3) | |
|
| ||||||
| DTLZ3 | 3 | 5.4576e − 2(1.14e − 4)+ | 5.4600e − 2(3.55e − 5)+ | 2.0403e − 1(2.78e − 2)− | 2.4784e − 1(2.11e − 1)− | 6.2885e − 2(6.68e − 3) |
| 5 | 1.9545e − 1(4.91e − 4)+ | 1.9644e − 1(1.09e − 3)+ | 4.5246e − 1(4.01e − 2)− | 6.4675e − 1(3.12e − 1)− | 2.1712e − 1(1.90e − 2) | |
| 8 | 6.6757e − 1(1.04e + 0)− | 4.1902e − 1(1.44e − 1)+ | 6.8299e − 1(6.66e − 2)− | 1.1522e + 0(6.07e − 2)− | 6.2463e − 1(2.48e − 1) | |
| 10 | 3.4566e + 0(2.42e + 0)− | 6.5314e − 1(1.20e − 1)+ | 8.2396e − 1(9.59e − 2)+ | 1.2320e + 0(1.66e − 2)+ | 1.9282e + 0(1.17e + 0) | |
| 15 | 4.5793e + 1(2.46e + 1)− | 1.0840e + 0(2.34e − 2)+ | 1.0639e + 0(2.51e − 1)+ | 1.2840e + 0(1.44e − 2)− | 1.1990e + 0(7.43e − 1) | |
|
| ||||||
| DTLZ4 | 3 | 1.0318e − 1(1.54e − 1)+ | 1.0321e − 1(1.54e − 1)+ | 5.7672e − 1(3.08e − 1)− | 6.9716e − 2(1.65e − 3)+ | 3.3993e − 1(3.21e − 1) |
| 5 | 2.4182e − 1(9.90e − 2)− | 2.8891e − 1(1.14e − 1)− | 3.8703e − 1(2.15e − 1)− | 2.2383e − 1(5.72e − 3)− | 1.9522e − 1(9.00e − 4) | |
| 8 | 3.7941e − 1(1.06e − 1)− | 3.6120e − 1(4.19e − 2)− | 3.9606e − 1(3.51e − 2)− | 3.7977e − 1(5.46e − 3)− | 3.5373e − 1(1.59e − 3) | |
| 10 | 4.7630e − 1(4.28e − 2)− | 4.5749e − 1(3.48e − 4)− | 4.4578e − 1(6.26e − 3)− | 4.7513e − 1(1.10e − 2)− | 4.2690e − 1(4.12e − 3) | |
| 15 | 5.4388e − 1(4.87e − 2)− | 6.0064e − 1(6.02e − 3)− | 5.4767e − 1(3.31e − 3)− | 6.2169e − 1(2.24e − 3)− | 5.3276e − 1(4.13e − 3) | |
|
| ||||||
| DTLZ5 | 3 | 1.3276e − 2(1.68e − 3)− | 2.5140e − 2(3.41e − 5)− | 2.0755e − 2(4.05e − 3)− | 3.7309e − 2(9.09e − 3)− | 6.3719e − 3(4.23e − 4) |
| 5 | 3.0252e − 1(2.37e − 1)− | 2.7061e − 1(5.20e − 3)− | 5.1907e − 2(9.00e − 3)− | 8.8047e − 1(5.26e − 2)− | 3.6560e − 2(6.96e − 3) | |
| 8 | 3.7565e − 1(1.07e − 1)− | 2.8819e − 1(1.66e − 1)− | 8.3767e − 2(3.01e − 2)− | 1.4984e + 0(5.73e − 2)− | 5.4626e − 2(9.29e − 3) | |
| 10 | 4.1017e − 1(7.95e − 2)− | 6.7472e − 1(1.10e − 1)− | 8.3944e − 2(1.93e − 2)− | 1.5900e + 0(9.84e − 2)− | 4.8186e − 2(8.22e − 3) | |
| 15 | 9.6608e − 1(2.40e − 1)− | 7.2006e − 1(2.90e − 2)− | 1.1546e − 1(3.40e − 2)− | 1.7978e + 0(3.24e − 1)− | 4.7407e − 2(4.20e − 3) | |
|
| ||||||
| DTLZ6 | 3 | 2.1027e − 2(1.92e − 3)− | 2.5149e − 2(1.70e − 6)− | 1.9479e − 2(3.42e − 3)− | 6.3035e − 2(5.54e − 2)− | 6.8460e − 3(6.24e − 4) |
| 5 | 3.3816e − 1(1.04e − 1)− | 3.1434e − 1(1.33e − 5)− | 1.3371e − 1(3.60e − 2)+ | 8.5385e − 1(9.81e − 2)− | 1.9242e − 1(4.37e − 2) | |
| 8 | 1.3884e + 0(1.17e + 0)− | 5.1714e − 1(1.32e − 1)− | 1.7717e − 1(6.42e − 2)+ | 1.1300e + 0(1.61e − 1)− | 2.5237e − 1(5.01e − 2) | |
| 10 | 2.9306e + 0(1.62e + 0)− | 5.9585e − 1(1.14e − 1)− | 2.2791e − 1(6.45e − 2)= | 1.2125e + 0(1.43e − 1)− | 2.2717e − 1(1.31e − 1) | |
| 15 | 6.1288e + 0(1.05e + 0)− | 6.7540e − 1(6.14e − 2)− | 1.9664e − 1(6.15e − 2)+ | 1.4495e + 0(6.06e − 1)− | 2.2625e − 1(2.45e − 1) | |
|
| ||||||
| DTLZ7 | 3 | 7.6242e − 2(3.24e − 3)+ | 2.2087e − 1(2.31e − 1)− | 2.9105e − 1(2.30e − 1)− | 2.5739e − 1(3.68e − 2)− | 1.5317e − 1(8.45e − 2) |
| 5 | 3.3576e − 1(1.70e − 2)+ | 4.4758e − 1(7.53e − 2)+ | 1.4291e + 0(1.63e − 1)+ | 8.7415e − 1(6.57e − 2)+ | 2.0956e + 0(7.85e − 1) | |
| 8 | 8.1348e − 1(4.32e − 2)+ | 2.5140e + 0(7.66e − 1)+ | 2.3518e + 0(3.34e − 1)+ | 3.4193e + 0(5.21e − 1)− | 2.8717e + 0(1.14e + 0) | |
| 10 | 1.2525e + 0(1.36e − 1)+ | 4.7379e + 0(7.11e − 1)+ | 2.2184e + 0(2.87e − 1)+ | 5.3261e + 0(4.22e − 1)+ | 9.5705e + 0(3.19e + 0) | |
| 15 | 3.5665e + 0(3.34e − 1)+ | 1.1085e + 1(9.34e − 2)+ | 2.4343e + 0(8.72e − 1)+ | 1.0521e + 1(3.99e − 1)+ | 1.5214e + 1(3.32e + 0) | |
|
| ||||||
| +/−/= | 11/21/3 | 13/21/1 | 9/25/1 | 5/27/3 | ||