. 2021 Mar 16;48(13-15):2473–2498. doi: 10.1080/02664763.2021.1895088

Table 3.

Regression estimators and their MSEs.

Estimators	MSE
$\hat{β} = (X^{'} X)^{- 1} X^{'} Y$	$MSE (\hat{β}) = σ^{2} (X^{'} X)^{- 1}$
${\hat{β}}_{MRSS} = ({X^{'}}_{MRSS} X_{MRSS})^{- 1} X_{MRSS}^{'} Y_{MRSS}$	$MSE ({\hat{β}}_{MRSS}) = σ_{MRSS}^{2} ({X^{'}}_{MRSS} X_{MRSS})^{- 1}$
${\tilde{β}}_{R} = (X^{'} X + k I)^{- 1} X^{'} Y = A \hat{β}$	$MSE ({\tilde{β}}_{R}) = σ^{2} A (X^{'} X)^{- 1} A^{'} + β^{'} (I - A)^{'} (I - A) β$
${\tilde{β}}_{R (MRSS)} = ({X^{'}}_{MRSS} X_{MRSS} + k I)^{- 1} X_{MRSS}^{'} Y_{MRSS} = A_{R (MRSS)} {\hat{β}}_{MRSS}$	$MSE ({\tilde{β}}_{R (MRSS)}) = σ_{MRSS}^{2} A_{R (MRSS)} ({X^{'}}_{MRSS} X_{MRSS})^{- 1} A_{R (MRSS)}^{'} + β^{'} (I - A_{R (MRSS)})^{'} (I - A_{R (MRSS)}) β$
${\tilde{β}}_{L T} = (X^{'} X + k I)^{- 1} (X^{'} Y + d {\tilde{β}}_{R}) = A_{L T} \hat{β}$	$MSE ({\tilde{β}}_{L T}) = σ^{2} A_{L T} (X^{'} X)^{- 1} A_{L T}^{'} + β^{'} (I - A_{L T})^{'} (I - A_{L T}) β$
${\tilde{β}}_{L T (MRSS)} = ({X^{'}}_{MRSS} X_{MRSS} + k I)^{- 1} ({X^{'}}_{MRSS} Y_{MRSS} + d {\tilde{β}}_{R (MRSS)}) = A_{L T (MRSS)} {\hat{β}}_{MRSS}$	$MSE ({\tilde{β}}_{L T (MRSS)}) = σ^{2} A_{L T (MRSS)} ({X^{'}}_{MRSS} X_{MRSS})^{- 1} A_{L T (MRSS)}^{'} + β^{'} (I - A_{L T (MRSS)})^{'} (I - A_{L T (MRSS)}) β$