Algorithm 2: Forward-Backward Sweep Method (FBSM) in the LQG problem

//— Initial step —// $k\leftarrow 0$ ${\mathsf{\Lambda }}_0^k\leftarrow {\mathsf{\Lambda }}_0$ for $t=0$ to $T-dt$ do    Initialize ${\mathsf{\Pi }}_{t+dt}^k$    ${\mathsf{\Lambda }}_{t+dt}^k\leftarrow {\mathsf{\Lambda }}_t^k+\mathcal{F}({\mathsf{\Lambda }}_t^k,{\mathsf{\Pi }}_{t+dt}^k)dt$ end for while $J\left[u_{0:T-dt}^k\right]$ do not converge do    if k is even then      //— Backward step —//      ${\mathsf{\Pi }}_T^{k+1}\leftarrow P$      for $t=T-dt$ to 0 do         ${\mathsf{\Pi }}_t^{k+1}\leftarrow {\mathsf{\Pi }}_{t+dt}^{k+1}+\mathcal{G}({\mathsf{\Lambda }}_t^k,{\mathsf{\Pi }}_{t+dt}^{k+1})dt$      end for    else      //— Forward step —//      ${\mathsf{\Lambda }}_0^{k+1}\leftarrow {\mathsf{\Lambda }}_0$      for $t=0$ to $T-dt$ do         ${\mathsf{\Lambda }}_{t+dt}^{k+1}\leftarrow {\mathsf{\Lambda }}_t^{k+1}+\mathcal{F}({\mathsf{\Lambda }}_t^{k+1},{\mathsf{\Pi }}_{t+dt}^k)dt$      end for    end if    $k\leftarrow k+1$ end while return $u_{0:T-dt}^k$