Abstract
三维牙颌模型的分割是计算机口腔辅助诊疗系统的关键步骤。针对牙齿分割技术普适性差、欠分割的问题，提出一种结合多种子区域生长和边界延伸的智能牙齿分割方法。该方法结合牙齿的负曲率网格的分布特点获得新种子点，通过差异性区域生长适应了牙齿顶面和侧面间的差异性结构，并结合几何特征对初次分割的边界进行延伸，有效弥补了区域生长的欠分割缺陷。在实验中，通过与当前经典的算法进行对比和消融实验，表明本文方法能够更好地分割拥挤的牙颌模型，具有较强算法普适性，已具备满足口腔诊疗中实际分割需求的能力。
Keywords: 牙齿分割, 区域生长算法, 多种子点, 边界延伸
Abstract
The segmentation of dental models is a crucial step in computer-aided diagnosis and treatment systems for oral healthcare. To address the issues of poor universality and under-segmentation in tooth segmentation techniques, an intelligent tooth segmentation method combining multiple seed region growth and boundary extension is proposed. This method utilized the distribution characteristics of negative curvature meshes in teeth to obtain new seed points and effectively adapted to the structural differences between the top and sides of teeth through differential region growth. Additionally, the boundaries of the initial segmentation were extended based on geometric features, which was effectively compensated for under-segmentation issues in region growth. Ablation experiments and comparative experiments with current state-of-the-art algorithms demonstrated that the proposed method achieved better segmentation of crowded dental models and exhibited strong algorithm universality, thus possessing the capability to meet the practical segmentation needs in oral healthcare.
Keywords: Tooth segmentation, Regional growth strategy, Multi-seed points, Boundary extension
0. 引言
牙齿畸形是口腔疾病中的常见病症，作为正畸治疗的首要步骤，三维牙颌模型分割技术的提升对计算机辅助设计系统在正畸领域的推广具有重要意义。与传统的三维分割任务相比，三维牙颌模型在分割过程中存在许多挑战[1-3]：① 同一类型牙齿的几何特征因患者个体差异而异；② 牙颌模型中存在牙齿拥挤和排列不齐的问题，导致分割边界难以确定；③ 缺牙、断牙、智齿等问题使得模型几何特征存在不确定性。
为解决上述难题，学者们尝试了许多方法对牙颌模型进行分割。全自动的分割方法主要基于深度学习网络[4]。一些方法对数据进行维度转换，然后利用卷积网络进行网格的特征提取和预测[5-7]。这类方法的网络结构简洁，但是忽略了网格间的拓扑关系，容易出现离散错误。为此，有学者通过构建邻域图的方法[2, 8]，将网格的邻接关系融入到语义特征中。然而，上述方法在特征提取过程中过度依赖坐标特征，无法提取到丰富的局部特征，不能较好地适应牙齿形态复杂的情况。
半自动的几何分割方法中，最常用的算法是基于每颗牙齿的边界线来实现牙齿分割。通过算法获取的牙齿边界点对牙齿的边界线进行搜寻[9-11]，或者将模型投影到二维平面中[12-13]，再利用图像分割算法获取边界线。这一类方法能够实现牙齿的快速分割，但是过度依赖于牙齿边界点的精确性，容易在牙齿排列拥挤时由于边界点的错位拟合出错误的边界线。
近些年，随着区域生长算法在三维模型分割任务中的优异表现[14-17]，一些学者尝试将它引入牙颌模型分割任务中。例如，范然等[18]通过勾画种子点，结合多种子点生长的方法实现牙颌模型的分割；马勇等[19]基于法向量的边界延伸方法，提高了区域生长后牙齿的边界光滑度。三维区域生长算法由于其局部贪婪的原则，可以在准确识别和分割牙齿区域的同时处理牙齿拥挤、倾斜以及其他形态复杂的情况。但是，这些方法目前仍然需要较多的人工参与进行种子点勾选并且存在牙齿边界线模糊的问题，影响了区域生长算法在牙颌模型分割任务中的精度和效率。
为了进一步提高区域生长算法在牙齿边界的分割精度、提升分割算法对牙齿形态的鲁棒性并减少人工参与，本文提出了一种结合多种子区域生长和边界延伸的智能牙齿分割方法。首先，将牙颌模型曲率分布特征和多种子点区域生长算法结合起来对牙颌模型进行分割；然后，融合几何特征对分割边界进行光滑；最后，在牙颌模型数据集上通过消融实验和对比实验验证本文方法的有效性。
1. 本文方法
1.1. 区域生长算法原理
三角网格模型的区域生长算法[20]通过对比种子点和周围网格顶点的曲率相似性进行区域扩展，直到满足生长准则为止。图1显示了种子点p的相邻三角网格分布，具体操作如下：① 计算种子点p与所在三角网格m的其他两个顶点pi1和pi2间的高斯曲率差值的绝对值△c(pi1)和△c(pi2)。② 判断差值绝对值△c(pi1)和△c(pi2)与设定生长曲率阈值间ct的大小。当两数值均小于阈值ct时，判定三角网格m属于当前种子点p的区域。③ 以顶点pi1和pi2为新的种子点重复上述步骤，直至没有新的三角网格与种子点属于同一区域。
图 1.
Adjacent triangular grid distribution
相邻三角网格分布
现有的区域生长算法在三维牙颌模型分割任务中，存在以下不足：① 阈值固定。由于牙齿在顶面和侧面的曲率分布差异较大，使用固定的曲率阈值会导致生长停滞的现象。② 鲁棒性不足。现有的研究一般将种子点选在牙齿的顶面中心，在分割形状特殊的牙齿时会造成欠分割问题。③ 边界粗糙。在分割凹凸不平的牙颌模型时，仅使用曲率信息作为生长条件将陷入局部最优，算法提前停止使得分割边界粗糙不平。
1.2. 结合负曲率分布的多种子点获取
为充分考虑牙齿的整体结构，提高分割方法对牙齿不同形状的鲁棒性。本文利用人工选定的初始种子点和牙颌模型的二维曲率分布特征，实现多种子点的获取。在该方法中，需要用户在每颗牙齿的顶面中心处标记一个初始种子点p，基于初始种子点p的多种子点获取方式如下。
（1）齿龈边界点获取。三维牙颌模型的表面是不规则曲面，其龈缘区域和齿间区域呈“谷底”状分布，存在连续的负曲率三角网格，如图2a所示。本研究利用牙颌模型的曲率分布特点，以人工选择的初始种子点p为基础，为每颗牙齿构建一条切割线，并以牙齿负曲率顶点中接近切割线、相距最远的两个点分别作为该牙齿的唇侧边界点pcc和舌侧边界点psc。具体步骤如下。
图 2.
Boundary points picking
边界点拾取
a. 曲率分布示意；b. 二维边界点获取；c. 牙颌模型选点示意
a. curvature distribution diagram; b. boundary point acquisition; c. the selection point of the model
Step 1：获取牙颌模型的负曲率顶点集合Plc={pl1, pl2, ···, pln}，并将其沿模型的高度方向(z轴)进行投影，如图2b中绿色点所示。其中，顶点pli∈Plc，c(pli)<0。
Step 2：构建切割线。假设3颗相邻的牙齿上的初始种子点分别为ps1、ps2、ps3，切割线过种子点ps2，其垂线的斜率为
。切割线如图2b中蓝色线所示。
Step 3：获取离切割线距离1以内的负曲率顶点，以其中距离最远的两个顶点pcc和psc分别作为牙齿的唇侧边界点和舌侧边界点。
Step 4：将二维投影中的唇侧边界点pcc和舌侧边界点psc映射至三维模型中，如图2c所示。
（2）多种子点计算。单种子点的区域生长算法无法适应牙齿的顶面和侧面间的巨大结构差异，针对该问题，本文基于初始种子点p、边界点pcc和psc为每颗牙齿计算两个侧面的种子点。以唇侧种子点pcs的获取为例，以边界点pcc为基础沿着模型高度(z轴)方向移动距离h获得定位点pd，距离h和定位点pd的坐标公式如下：
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1 |
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2 |
式中x( )、y( )和z( )分别获取顶点的x轴、y轴和z轴坐标。然后，计算出模型顶点集合Pall = {p1, p2, ···, pn}中离定位点pd欧式距离最近的顶点作为唇侧新种子点pcs，其中n为模型的顶点总数。由于边界点pcc和psc位于牙齿与牙龈的交接处，以此为基础进行平移，可以确保种子点位于牙齿侧面，如图3所示。本文提出的多种子点获取方法充分考虑了牙齿的整体几何特征，能够有效避免过多的人工参，提高算法效率。
图 3.
Results of multi-seed point calculation
多种子点计算结果
1.3. 结合多种子点的差异性区域生长
1.3.1. 数量阈值设定
如图2a所示，牙齿齿顶处由于咬合面与侧面的交接形成了局部凸出的高曲率三角网格，而磨牙中心处由于沟壑的存在形成了大量低曲率三角网格。大幅度的曲率变化会导致区域生长的过程中出现生长停滞现象，即只在初始种子点周围的小范围内进行生长。针对该问题，本文为初始种子点设定了数量阈值，使其在牙齿顶面一定范围内生长时不受限于曲率差值。数量阈值计算公式为：
 |
3 |
式中350是网格数为15 000的牙颌模型中切牙和尖牙的顶面网格数统计均值的向下取整数；α是牙齿类型系数，经统计前磨牙和磨牙的牙齿顶面网格数是切牙和尖牙的1.5～2.5，因此当牙齿为切牙和尖牙时α = 1，当牙齿为前磨牙和磨牙时α = 2；γ是模型数量倍率，γ = 模型网格总数/15 000。由于初始种子点是位于牙齿顶面的中心处，基于统计均值计算的数量阈值不仅可以避免生长停滞现象，也可避免无差别生长过度导致的过分割问题。
1.3.2. 差异性区域生长
结合多种子点的区域生长算法，核心思想如下：对初始种子点进行数量阈值下的区域生长，即数量阈值内的三角网格归入对应种子点的初始分割区域，数量阈值外的三角网格则依照常规的区域生长准则来进行判断；对唇侧种子点和舌侧种子点则进行常规的区域生长。差异性区域生长准则可表示为：
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4 |
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5 |
式中△c(pi1)和△c(pi2)是三角网格顶点间平均曲率差值的绝对值；Ct是区域生长的曲率阈值，经统计试验设为0.125；L(n)是数量阈值影响系数，n为当前种子点区域内的网格总数；mc(Sk)是数量阈值判断函数，当种子点属于唇侧种子点或舌侧种子点的区域内时mc(Sk) = 0，当种子点属于初始种子点的区域时mc(Sk) = Sk。
1.4. 初始分割区域的边界延伸
牙颌模型进行区域生长的过程中，齿龈交界处和牙齿侧面沟壑处存在明显的曲率变化，使得区域生长在到达这些网格附近时便提前停止，造成欠分割问题。如图4中红色方框的局部放大结果所示，初始分割的边界处较为粗糙，存在明显的欠分割。针对这一问题，本文提出基于几何特征的边界延伸机制，对牙齿的初始分割区域进行优化。
图 4.
Under-segmentation results of the initial partition area
初始分割区域的欠分割结果
牙颌模型的龈缘区域和齿间区域呈“谷底”分布，这使得边界处相邻、异类网格间的法向量夹角骤增，如图5所示。牙齿的边界网格f1与近邻的同类网格f3的法向量夹角较小，而与近邻的异类边界网格f2的法向量夹角较大，根据这一特性可以实现边界处网格的类型划分。但是，当牙齿畸形较为严重时，齿龈边界处的相邻、异类网格间的法向量夹角将会变小，这种情况下基于法向量进行延伸会产生过分割问题。考虑到齿龈间网格的曲率是局部极小值[21]，利用该性能对法向量边界延伸的方位进行引导，使法向量沿着曲率下降的方向延伸，即只对曲率小于当前网格的待生长边界网格进行法向量判定，可有效避免过分割问题。
图 5.
Normal vector relation of boundary mesh
边界三角网格法向量关系
具体而言，首先，计算边界网格f2与共边已标注网格f1的曲率大小；然后，当边界网格f2的曲率小于共边已标注网格f1的曲率时，再计算边界网格f2与共边已标注网格f1间的法向量夹角，当夹角小于设定的法向量阈值Nt时，边界网格f2与共边已标注网格f1属于同类网格。边界处的网格类型判断准则的可表示为：
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6 |
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7 |
式中，αc为曲率引导系数；
，其中n1和n2分别为网格f1和f2的法向量，本文采用法向量夹角的余弦值作为指标，评估相邻三角网格间的相对弯曲程度；
是网格的曲率，c(pi)是网格的顶点平均曲率；法向量阈值Nt根据统计结果设置为Nt = 0.9。结合初始分割边界处网格的几何特点，由曲率作为引导方位、法向量作为类型判断标准，不仅实现了分割边界的延伸，还可有效避免过分割问题的出现，进而实现牙颌模型的精确分割。
2. 实验结果
2.1. 实验细节
本文算法基于Python语言并利用vedo开源库实现算法，模型显示基于Mesh Labeler软件[22]，硬件环境配置如下：Intel(R) Core(TM) i7-12700F 2.10 GHz处理器，NVIDIA GeForce GTX1660Ti显卡。本文从Teeth3DS数据库[23]获得三维牙颌网格模型，共100个三维牙颌网格模型，出于算力的限制将模型的网格数简化至15 000个网格。此外，为了定量验证所提方法的性能，本文使用总体精度（overall accuracy，OA）、交并比（Intersection over Unio，IoU）和均交并比（mIoU）作为评价指标。
2.2. 对比实验
为验证本文算法优势，分别与局部信息空间增强模块（Local Augmentation Spatial Module，LASM）[2]、区域约束法[21]以及标量场法[11]这三种先进的牙齿分割算法进行比较。分割结果通过表1中的OA和mIoU指标进行定量总结，IoU仅显示左侧牙齿（T1-T7）和牙龈（T0）的分割结果。从表1中可以得出以下结论：① 本文方法在每个牙齿分割中都获得了更高的IoU，证明了本文方法在牙齿精细分割过程中的泛化性能；② 与同样使用法向量进行边界优化的区域约束法相比，本文方法的mIoU指标提升了5.36个百分点，因为区域约束法仅使用法向量对边界进行优化，容易出现过分割问题；③ 与采用边界线搜寻的标量场法和依赖坐标特征的LASM法相比，本文方法由于不过度依赖网格的坐标信息，在处理拥挤牙齿时拥有更高的精度。
表 1. Comparison results with other advanced methods (%).
Comparison results with other advanced methods (%)
与其他先进方法的比较结果（%）
| 方法 | OA | mIoU | IoU | |||||||
| T1 | T2 | T3 | T4 | T5 | T6 | T7 | T0 | |||
| LASM | 93.25 | 86.61 | 85.81 | 84.76 | 85.05 | 85.34 | 85.46 | 84.49 | 86.55 | 92.67 |
| 区域约束法 | 91.76 | 85.77 | 83.29 | 82.89 | 83.76 | 83.61 | 84.73 | 84.79 | 85.13 | 89.83 |
| 标量场法 | 94.38 | 88.31 | 86.01 | 87.86 | 88.65 | 86.57 | 86.16 | 88.49 | 87.55 | 92.87 |
| 本文方法 | 97.12 | 90.98 | 88.78 | 88.54 | 89.67 | 88.15 | 88.62 | 90.71 | 90.85 | 95.37 |
为进一步体现本文方法的有效性，对分割结果进行了可视化，如图6所示。首先，如第一行红色圆圈所示，全自动的LASM法对错位牙齿的分割精度最低，因为这种方法在特征提取时主要依赖牙齿网格的坐标，拥挤错位导致网络在判断过程中发生混淆进而错分；而本文方法和其他两种半自动方法由于预先的人工标注，对于牙齿拥挤的情况能够保证正确的区域识别，避免大面积错分。其次，第二行中标量场法在拥有凸起的牙齿边界处，由于启发式龈缘线法倾向于获取更大面积的完整龈缘因此出现了明显的过分割，而本文使用的区域生长算法在凸起处由于对曲率变化更加敏感，从而有效避免了过分割问题。最后，在第三行的牙齿边界处和第一行的牙齿拥挤处，可以发现区域约束法的边界出现了过分割问题，因为它只利用法向量进行边界线获取，当边界网格比较平坦时会出现错分。
图 6.
Visualization of segmentation results among the proposed method and three comparison methods
本文方法与三种对比方法的分割结果可视化
2.3. 消融实验
2.3.1. 差异性区域生长的有效性
为验证本文的差异性区域生长算法的有效性，通过不同的生长策略构建了三种变体进行比较：① 仅基于初始种子点进行生长，并取消数量阈值设定；② 仅基于初始种子点进行生长，并包含数量阈值设定；③ 基于多种子点进行生长，并取消数量阈值设定；定性结果如图7所示。从图中可以看出，没有设置数量阈值的模型在牙齿顶面出现了生长停滞的现象，这主要是因为牙齿顶面沟壑处和凸起部位的曲率变化差值大使得算法提前停止。此外，使用单种子点和数量阈值的变体在磨牙的侧面均存在明显的欠分割，这主要是因为牙齿顶面和侧面交界处的高曲率网格阻碍了生长的正常进行，单种子点无法适应顶面和侧面之间的曲率特征分布差异。与之相比，本文的生长算法通过多种子点和数量阈值针对牙齿的顶面和侧面进行不同的生长策略，有效地适应了牙齿几何结构的差异性。
图 7.
Segmentation results of different growth strategies
不同生长策略的分割结果
2.3.2. 边界延伸策略的有效性
为验证本文所提的边界延伸策略的有效性，通过不同的延伸判别条件构建了三种变体进行比较：① 无边界延伸，即不对网格的初始边界进行优化；② 法向量延伸，即直接使用法向量夹角判断进行延伸，不再用网格的曲率变化进行引导；③ 曲率延伸，即直接将曲率小于共边已标注网格的边界网格划分为同类网格。定量结果如表2所示，本文算法的OA和mIoU均有较大的提升。法向量延伸精度小于曲率延伸，主要是因为牙齿严重畸形时齿龈边界处的相邻、异类网格间的法向量夹角变小，造成大面积过生长降低了分割精度。
表 2. Quantitative segmentation results with different boundary extension strategies (%).
Quantitative segmentation results with different boundary extension strategies (%)
不同边界延伸策略的定量分割结果（%）
| 变体方法 | OA | mIoU | |
| 无边界延伸 | 83.13 | 77.05 | |
| 法向量延伸 | 92.06 | 87.92 | |
| 曲率延伸 | 94.18 | 89.37 | |
| 本文方法 | 97.12 | 90.98 |
图8中展示了上述变体的可视化结果。首先，无边界延伸的结果在齿间存在明显的欠分割，这是因为曲率变化大于设定的阈值，导致生长停止。其次，法向量延伸的牙齿边界比曲率延伸的牙齿边界光滑，这主要是因为局部极小曲率的网格的类型具有不确定性。最后，法向量延伸的牙齿边界处有时会存在明显的过分割，因为齿龈边界处网格的法向量变化可能较小，进而产生错误的分割，而本文方法由于曲率导向的缘故对法向量夹角的变化更加敏感，有效地避免了过分割的错误。
图 8.
Visual segmentation results of different boundary extension strategies
不同边界延伸策略的可视化分割结果
3. 结语
本文针对牙齿的几何特征分布和区域生长算法的原理，提出了一种结合多种子区域生长和边界延伸的牙齿分割方法。该方法结合牙齿的负曲率分布特点获得新种子点，并通过差异性区域生长有效适应了牙齿顶面和侧面间的差异性结构；根据初始分割区域的网格分布特点，结合法向量和曲率特征对边界进行了延伸，克服了区域生长提前停止的缺陷。此外，本文方法与其他三种优秀的分割方法进行了比较，并通过消融实验分析了核心技术的有效性，实验结果证实本文方法具有较少的人工参与和参数调整，适合具有挑战性的实际情况。
重要声明
利益冲突声明：本文全体作者均声明不存在利益冲突。
作者贡献声明：刘志华和薛久涛构思并设计了研究方案；刘志华实施方案并处理数据；唐浩负责数据收集和文献调研；刘志华和廖与禾负责论文的撰写与修改。
Funding Statement
国家重点研发计划（2019YFB1311903）；国家自然科学基金面上项目（51575424）
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