基于局部高斯分布拟合的牙齿锥形束计算机断层图像分割方法

Abstract

Oral teeth image segmentation plays an important role in teeth orthodontic surgery and implant surgery. As the tooth roots are often surrounded by the alveolar, the molar’s structure is complex and the inner pulp chamber usually exists in tooth, it is easy to over-segment or lead to inner edges in teeth segmentation process. In order to further improve the segmentation accuracy, a segmentation algorithm based on local Gaussian distribution fitting and edge detection is proposed to solve the above problems. This algorithm combines the local pixels’ variance and mean values, which improves the algorithm’s robustness by incorporating the gradient information. In the experiment, the root is segmented precisely in cone beam computed tomography (CBCT) teeth images. Segmentation results by the proposed algorithm are then compared with the classical algorithms’ results. The comparison results show that the proposed method can distinguish the root and alveolar around the root. In addition, the split molars can be segmented accurately and there are no inner contours around the pulp chamber.

引言

锥形束计算机断层扫描（cone beam computer tomography，CBCT）在牙科诊断中应用广泛，与传统的多层 CT（multi-slice computer tomography，MSCT）相比，CBCT 辐射剂量小，成像速度快，图像空间分辨率高。牙齿 CBCT 图像中包含着牙齿的位置和形状信息。基于 CBCT 牙齿图像可以重建三维牙齿模型并进行定量分析，这对于牙齿的正畸手术、根管治疗、义齿种植等有着重要的意义。基于 CBCT 图像的牙齿分割对于精确定量分析非常重要。

针对牙齿图像实现精确分割主要有以下困难^[1]：① 牙冠部分，相邻牙齿之间相互粘连，对于单颗牙齿的分割造成了困难。② 牙根部分，牙齿被牙槽骨包围，牙齿的灰度与牙槽骨相近，将牙齿与牙槽骨精确区分比较困难。③ 磨牙拓扑结构复杂，在牙根处可能分裂成两到三个牙齿，对算法要求很高。④ 牙齿内部存在牙髓腔，在牙齿分割过程中容易出现内轮廓。

为了解决牙齿分割的问题，研究者提出了大量的分割方法。在牙冠区域，为解决相邻牙齿之间相互粘连的问题，Dufour 等^[2]提出了耦合水平集。将所有牙齿都用两个水平集进行表示，相邻牙齿用不同水平集。在分割时两个水平集同时演化，这样相邻粘连的牙齿分割时就不会相互融合。Heo 等^[3]提出了一种自适应阈值方法，利用序列中先验信息获取分割阈值，提高了分割的准确性，但是由于图像灰度分布不均匀，相邻牙齿相互粘连，阈值选择比较困难，容易欠分割或过分割。传统的牙齿分割算法只能分割上下颌不接触的图像。Xia 等^[4]提出了一种上下颌咬合状态下的牙齿分割方法。在牙颈牙根处使用混合水平集进行分割，对上下颌接触处进行分割时重建网格模型，使用阈值和快速分水岭算法进行分割。当牙齿图像中存在金属伪影时，对牙冠区域进行分割时不能准确地分割出单颗牙齿。为此 Xia^[5]等对存在金属伪影的牙冠先用 Radon 变换将单颗牙齿提取出来，再使用水平集方法进行分割。在牙根区域，Akhoodali 等^[6]提出了一种基于区域生长的分割方法，Zhang^[7]提出了一种基于局部区域生长的方法，但是都不能精确地分割出牙根。对于磨牙的分割，Gao 等^[8]和 Gan 等^[9]的文章里都有涉及。但是，Gan 等的算法不能精确地识别出第三磨牙，而 Gao 等的算法不能正确地处理牙齿分裂的问题。在牙齿中存在牙髓腔，与牙本质区域相比，牙髓腔区域的灰度值较低，在分割过程中会出现内部边缘。为此 Gan 等^[9]在水平集中引入梯度方向，只有当梯度方向与负水平集的法线方向一致时，边缘才为有效边缘。由于牙齿断层图像中相邻断层图像的灰度分布非常相似，Gao 等^[8]利用上一层断层图像中的灰度分布作为当前层的灰度约束项，指导曲线演化，使轮廓上的点自适应地收缩或膨胀。与灰度分布相似，牙齿断层图像中相邻的断层图像形状也是高度相似的，基于此，Gao 等^[8]和 Ji 等^[10]提出了基于先验形状的约束项。将上一层的结果轮廓作为当前层的初始轮廓，当曲线演化到距离初始轮廓较远时，此约束项的值较大，防止曲线演化到距离上一轮廓较远的位置。Ji 等^[10]在 Gao 等^[8]的基础上改进了先验区域能量项，用最大后验概率指导曲线的演化。Hosntalab 等^[11]提出了利用三维水平集函数对牙齿图像进行分割，但是该方法对初始轮廓敏感，分割结果不可控，分割容易出现错误。王立新等^[12]提出了一种结合自动阈值分割、Chan-Vase（CV）模型与图割方法的分割方法。对于牙齿与周围组织灰度值相差较大的图像有一定的分割效果，但是对于差异较小的则效果较差。在对牙齿序列进行分割时，主要依靠上层牙齿的分割结果指导当前层的分割。如果相邻层之间的牙齿形状差距较大，则形状先验知识起不到积极的作用。为了解决这个问题，Gan 等^[13]提出了一种斜角牙齿的分割方法，根据牙齿的轴线倾斜角度调整为与横截面垂直，对调整后的牙齿使用水平集进行分割。

为了进一步提高牙根分割精度、磨牙分裂以及牙髓腔内部轮廓等问题，本文提出一种混合水平集分割方法。将局部高斯分布拟合（local Gaussian distribution fitting，LGDF）^[14]与边缘检测（edge detection）^{[8, 10]}结合起来对牙齿图像进行分割，并将其与经典的 CV 模型^[15]、形状-强度先验模型^[8]进行实验对比，验证本算法的有效性。

1. 方法

1.1. 水平集分割方法原理

水平集方法最初由 Osher 等^[16]提出，用于解决遵循热力学方程下的火苗变化过程。其方法的核心是用高一维函数的零水平集函数表示低一维的函数。通过获取高维函数在零水平集中的位置来获得最终的演化结果。

可以将水平集模型分为基于区域的模型^{[14-15, 17-18]}和基于边缘的模型^[19]。基于边缘的模型主要利用图像的边缘信息来约束曲线的演化。典型的基于边缘的模型都有一个边缘停止项来控制曲线的运动。当曲线运动到目标边缘时，此停止项为零。几何活动轮廓（geometric active contour，GAC）模型^[20]为最常用的边缘模型，其能量泛函如下：

1

其中 为水平集闭合曲线的长度，S 为闭合曲线的弧长参数。对上式使用梯度下降法得到零水平集演化方程：

2

其中 为常数，可以加速曲线演化，g 为边缘停止函数 。 表示标准偏差为 的高斯核函数。 表示去噪后的图像。该模型进行曲线演化时受到两个力的驱动。第一个是内力，即曲率运动，为式（2）的第一项。受到图像梯度的标量场 控制，在目标边缘处为零，因此称 为边缘停止函数。第二个为外力，来自于 的梯度 ，为式（2）中的第二项。它可以使水平集函数向着目标边缘运动。对于目标边缘较为清晰的图像分割效果较好。但是该模型对于噪声比较敏感，图像边缘较弱时分割效果较差。

基于区域的模型利用图像的区域信息指导曲线演化，在图像分割上的表现比基于边缘的模型要好。比较常用的模型有 CV 模型^[15]和局部二值拟合（local binary fitting，LBF）模型^[17]。CV 模型是为了解决基于边缘的水平集函数对边界模糊和不连续图像分割效果较差的问题。其能量泛函定义如下：

3

其中 和 分别表示曲线内外灰度的均值。只有当曲线处在目标区域的边缘时，该泛函才能取到最小值。由于 和 不能准确地表示一幅图像，因此该模型对于灰度分布不均匀的图像分割效果较差，为此 Li 等^[17]提出了 LBF 模型。该模型为一种基于局部区域的水平集模型，其能量泛函如下：

4

其中 为标准差为 的高斯函数。 与 分别表示曲线内外的拟合灰度值。该能量方程所考察的区域是以当前点 x 为中心的邻域范围。邻域范围大小由高斯函数的标准差 决定。当水平集函数演化到目标轮廓时，拟合灰度值近似于区域内曲线内外的灰度值，此时整个区域点的拟合能量值最小。由于本模型是基于局部区域信息，对灰度分布不均匀的图像分割效果较好。

由于牙齿与周围牙槽骨灰度差异小、磨牙拓扑结构复杂以及相邻牙齿相互粘连等特点，传统的水平集方法对于牙齿图像分割精度较差。例如 CV 模型^[11]，该模型对于灰度分布均匀的图像分割效果较好，但是牙齿图像灰度分布不均匀，使用 CV 模型分割效果很差。针对 CBCT 序列相邻图像的相似性，Gao 等^[8]提出了一种形状-强度先验模型。该模型很好地解决了灰度分布不均匀的问题，对于牙槽骨包埋的牙根分割效果也很精确，但是磨牙分裂的问题还是不能得到很好的解决。为此本文提出了一种基于局部高斯分布拟合与边缘检测模型相结合的牙齿分割模型。

1.2. 局部高斯分布拟合项

在牙齿图像分割中，我们假设图像 由两部分组成，一部分是牙齿区域，即前景区域，另一部分为背景区域，分别用 和 表示。满足 ， 。在水平集分割的过程中，这两个区域分别为零水平集的内部和外部，即 和 。

在该模型中，对于每一个像素点 x，假设一个以像素点 x 为中心、 为半径的邻域。

。根据贝叶斯公式可得：

5

其中 可以简化为 ，表示在区域 中的灰度分布，i 取值可以为 1 或 2。 表示 y 属于 的先验概率。 表示灰度值 的先验概率。因为 与 为定值，可以省略。对得到的最大后验概率取对数，将最大化转化为最小化，得到如下能量泛函^[14]：

6

式（6）对单点像素构造邻域最小化函数，对该函数求取最小值实现对该邻域的最优分割。对于概率密度函数 ，选取高斯密度函数^[14]。

7

其中 和 分别为局部强度的均值和方差。

对式（6）引入一个权重函数：

8

则对式（6）重新定义为：

9

由于上式是对于一个像素点的计算，如果计算整幅图像，则需要对上式积分求和：

10

1.3. 边缘检测项

为了更准确地分割牙齿图像，在高斯分布拟合的基础上引入了边缘检测。牙齿主要由两部分组成。牙齿中间部分，灰度较低，为牙髓腔。在牙髓腔的外部为牙本质区域，灰度值较高。这样在进行牙齿分割时可能会出现两个边缘，一个为牙本质与牙齿外部的边缘，另一个为牙本质与牙髓腔的内部边缘。为了避免这一情况，在局部高斯拟合的基础上引入了边缘检测项，并且在边缘检测项中引入梯度方向。

11

其中 表示梯度， 表示将图像 I 与高斯核 进行卷积。 为牙齿的初始轮廓。当图像的梯度方向与法线方向一致时，此时的边缘为正确的边缘。

同时为了避免初始化与平滑水平集函数引入正则化项以及长度约束项：

12

13

总的能量泛函为：

14

由梯度下降法可得：

15

其中 和 分别为：

16

17

局部强度为：

18

19

局部方差为：

20

21

1.4. 评价指标

为定量地评价分割结果，本文使用有经验的临床医生手动分割结果作为评价分割准确性的标准。本文使用的定量评价指数分别为 Jaccard 指数（Jaccard Index，Jc）与 Dice 相似性系数（Dice Similarity Index，DSI）。

Jc 指数的定义为：

其中 为临床医生手动分割的结果， 为算法分割的结果。算法分割结果越准确，则 Jc 值越接近 1。

Dice 相似性系数定义为：

与上式一样，DSI 越接近 1，分割结果越精确。

1.5. 实验步骤

（1）选取初始层。选取初始层时要注意牙齿之间不相互粘连，选取比较好的层面。所以初始层选取在牙颈处，本文采用的序列图像共 220 层，初始层选取在 73 层。

（2）获取牙盒。选定待分割的牙齿之后，需要将选定的牙齿从图像中提取出来。选定初始层之后将图像显示出来，确定选定的牙齿之后手动提取该牙齿的中心点，以该点为中心提取出一个一定大小的方形区域，一般选取的大小为 。

（3）参数设定。本文的参数主要涉及到迭代步长 ，高斯核函数的截断系数 ，高斯核标准差 ，边缘检测项系数 ，长度约束项系数 ，正则化项系数 。其中 和 分别为公式（8）中的截断系数与标准差， 不大于 。 、 和 分别为公式（15）中第二项、第三项和第四项的系数。实验中各个参数的取值见下文。

（4）生成初始轮廓。首先对牙盒进行中值滤波去噪，并且对图像进行归一化。对归一化后的图像使用阈值分割及图像的开运算获得二值模板图像。将其作为初始层分割的初始轮廓。

（5）序列分割。在对序列图像进行分割时，将上一层的分割结果作为当前层的初始轮廓。在初始轮廓的基础上使用本文算法进行曲线的迭代演化，得到最终的结果，一直到将序列图像分割完成。

2. 实验结果与讨论

为验证本文分割算法的正确性，本文在临床 CBCT 数据上进行了测试。本文选用十组牙齿 CBCT 数据进行分割实验，该实验数据由我们实验室团队成员在上海第九人民医院扫描获得，符合医院伦理审查规范，所有参与者对该研究都知情并同意所扫描数据供团队研究使用。图像分辨率为 0.25 mm × 0.25 mm × 0.25 mm，图像为大小为 435 × 435，此序列图像共 220 层。测试使用的电脑配置为 Intel（R） Core（TM） i7-7700，主频为 3.60 GHz，内存为 8 GB。测试平台为 MATLAB2016b。

本文分割算法的默认参数设置为 ， ， ， 。牙齿为磨牙时 = 0.000 1 × 255²，其余牙齿 = 0.000 8 × 255²。对于参数 ，牙齿为磨牙时 ，牙齿为前磨牙时 ，牙齿为尖牙和切牙时 。本次实验的对比实验分别为 CV 模型^[15]和形状-强度先验模型^[8]。在实验过程中，也有默认参数分割结果不是很好的情况，这种情况下我们通常以上述参数默认值为起点，在以参数默认值为中心的一个局部区间内通过实验验证设定更好的参数取值。图 1 到图 5 分别为 CV 模型、形状-强度先验以及本文算法对磨牙、前磨牙、尖牙、切牙以及整个下颌牙齿的分割结果。表 1 为对三种算法的定量评价。

图 1.

Partial segmentation results of first molar sequence by three algorithms

三种算法对第一磨牙序列的部分分割结果

图 5.

The segmentation results of the proposed methods for all teeth in samples slices of the mandible

本文提出的算法对下颌所有牙齿分割部分层面的结果

表 1. Quantitative assessment of three methods.

三种算法分割精度的定量评价

牙齿	CV 模型[15]			形状-强度先验[8]			本文算法
	Jc	DSI		Jc	DSI		Jc	DSI
磨牙	0.614 3	0.619 7		0.773 1	0.796 9		0.907 3	0.925 3
前磨牙	0.883 2	0.895 7		0.880 1	0.901 1		0.916 1	0.927 4
尖牙	0.832 7	0.821 9		0.872 5	0.871 4		0.921 7	0.927 9
切牙	0.814 7	0.821 5		0.792 4	0.801 3		0.894 3	0.907 1

图 3.

Partial segmentation results of canine sequence by three algorithms

三种算法对尖牙序列的部分分割结果

从图中可以看出本文算法对于牙齿有较好的分割效果，即使牙齿被包埋在牙槽骨中，也可以较精确地将牙齿从牙槽骨中分割出来。磨牙牙根处拓扑结构变化灵活，会分裂成多个牙齿，该模型仍然可以准确分割出分裂的牙齿。CV 模型对于灰度均匀的图像分割比较准确，对灰度不均匀的图像分割效果较差。从图 2 到图 4 可以看出，CV 模型对牙颈部分进行分割时，分割较为准确，但是当牙齿被牙槽骨包围时，牙齿灰度与牙槽骨比较接近，此时该模型不能准确地区分牙齿与牙槽骨。尤其是对于磨牙，磨牙在牙颈处就被牙槽骨包围，且拓扑结构变化灵活，分割效果更差。形状-强度先验模型对于前磨牙的分割效果较好。但是对于磨牙，当磨牙开始分裂的时候，不能准确地分割出分裂的牙齿。由于本文涉及到的三种算法采用相同的分割流程，前期预处理的步骤相同，所以算法耗时从自动分割开始算起。本文算法主要是针对牙根图像进行分割，所展示的时间是整个口腔的 28 颗牙齿从初始层到分割结束所用时间。本文算法、CV 模型和形状-强度先验算法的运行时间分别为 45.39、28.56、129.19 s。由于 CV 模型算法计算较为简单，算法运行时间比本文算法短，但是分割效果太差。本文算法跟形状-强度先验模型相比，效率大大提高，且精确度有较大提升。

图 2.

Partial segmentation results of first premolar sequence by three algorithms

三种算法对第一前磨牙序列的部分分割结果

图 4.

Partial segmentation results of incisor sequence by three algorithms

三种算法切牙序列的部分分割结果

3. 结论

本文提出了一种基于局部高斯分布拟合模型与边缘检测模型的牙齿图像分割方法。对牙齿图像使用中值滤波器进行滤波去噪。将目标牙齿从整幅图像中提取出来，形成牙盒。对牙盒使用区域生长、孔洞填充等操作生成初始轮廓。在对序列图像进行分割时，以上一层的分割结果作为当前层的初始轮廓指导分割。将本文算法在牙齿图像上进行验证，并与 CV 模型、形状强度先验模型进行实验对比。实验表明，本文提出的方法能够精确地分割牙齿图像，尤其是对拓扑结构复杂的磨牙，相对于其他分割方法，分割精度有很大的提高。

Funding Statement

国家自然科学基金（61201067）；上海市自然科学基金（18ZR1426900）