基于正弦图平移匹配的投影旋转中心校正

Abstract

The accurate position of the center of rotation (COR) is a key factor to ensure the quality of computed tomography (CT) reconstructed images. The classic cross-correlation matching algorithm can not satisfy the requirements of high-quality CT imaging when the projection angle is 0 and 180°, and thus needs to be improved and innovated. In this study, considering the symmetric characteristic of the 0° and flipped 180° projection data in sinogram, a novel COR correction algorithm based on the translation and match of the 0° and 180° projection data was proposed. The OTSU method was applied to reduce noise on the background, and the minimum offset of COR was quantified using the L₁-norm, and then a precise COR was obtained for the image correction and reconstruction. The Sheep-Logan simulation model with random gradients and Gaussian noise and the real male SD rats samples which contained the heterogenous tooth image and the homogenous liver image, were adopted to verify the performance of the new algorithm and the cross-correlation matching algorithm. The results show that the proposed algorithm has better robustness and higher accuracy of the correction (when the sampled data is from 10% to 50% of the full projection data, the COR value can still be measured accurately using the proposed algorithm) with less computational burden compared with the cross-correlation matching algorithm, and it is able to significantly improve the quality of the reconstructed images.

引言

X 射线计算机断层成像（computed tomography，CT）是无损检测领域的重要分支，并广泛应用于航天、医学影像等重要领域。在二维 CT 扫描系统中，投影旋转中心（center of rotation，COR）的准确性将直接影响重建图像的质量。但在实验中，由于受到仪器精度、主观误差等因素的影响，COR 偏离探测器的中心，即没有位于正弦图（sinogram，sino 图）的列中心，从而导致重建图像产生严重的伪影^[1]。因此，在 CT 重建前进行 COR 校正是必不可少的。

国内外的研究人员对基于 sino 图的 COR 校正方法进行了研究。1990 年，Azevedo 等^[2]提出通过计算投影数据质心的偏移得到 COR 的偏移获得实际 COR 位置的方法，但该方法不能很好地处理衍射、折射和非线性噪声干扰且受限于成像视野的大小。2006 年，Liu 等^[3]对选择两对相近的且投影角度相差 180° 的数据求得插值系数，进而得到 COR 的对角插值法的性能进行研究，该方法对探测器性能与图像质量要求高且扫描角度多（0～360°）。2014 年，Vo 等^[4]提出了利用 sino 图的傅里叶变换系数对称性计算 COR 的方法，该方法对带有随机梯度噪声的 sino 图校正效果不佳。1974 年，Pratt^[5]提出了基于互相关的匹配算法。随着对互相关算法研究的不断深入，2012 年 Yang 等^[6]基于扇束模型将所得 sino 图中相差 180° 的投影数据均进行互相关匹配来获得实际 COR 位置，该方法具有一定的抗噪性且能够准确校正 COR，已被广泛关注和应用^[7-10]。对于平行束成像模型，投影角度范围通常是 0～180°，即只有一对相差 180° 的投影数据，应用互相关法计算受背景噪声的影响较大，这将会影响 COR 的校正精度。因此，利用 0° 和 180° 投影数据进行高精度校正 COR 是改进创新的重要方向。

本文选用经典互相关匹配算法作为对比算法，根据 sino 图中 0° 和 180° 投影数据方向相反数值相同的性质，提出了只对这两行投影数据进行迭代匹配的校正算法，同时引入 OTSU 分割图像以减少背景噪声的干扰，精确 COR 偏移量，并通过L₁ 范数量化进一步提高 COR 的测量精度，并以此测量值作为 sino 图列的中心进行校正，然后对校正的 sino 图进行滤波反投影（filtered back projection，FBP）重建。最后，通过仿真和真实实验对新算法进行验证，并讨论该算法的实际应用价值。

1. 方法

如图 1 所示，图像坐标系为（x，y），旋转坐标系为（t，s），其中t 为射线的位置，s 为射线的投影方向，虚线为部分射线，极坐标下的（r，φ）为图像中的某一个像素点，θ 为旋转坐标系的旋转角度，即投影角度。

图 1.

Schematic diagram of the coordinate system

坐标系示意图

在旋转坐标系上确定射线的投影地址，即

1

将 r 与 φ 固定，随着 θ 的变化，t 呈现出正弦曲线。定义投影角度 下射线经过样品后的投影信息为 P_θ （θ 的取值范围为 0～180°），那么将 0～180° 投影信息依次排列起来便构成了 sino 图。将 sino 图上投影角度 θ 下的投影地址从 1 开始依次向右升序排列，则式（1）等价为

2

其中，c 为实际的 COR，X 为投影地址。

实际中，COR 偏移如图 2 所示。其中，探测器的个数为 N，理论 COR 地址为（N+1）/2， 与 分别为投影信息 P₀ 和 P₁₈₀ 对应的实际 COR 地址，τ₁ 与 τ₂ 分别为 P₀ 和 P₁₈₀ 中同个探测器单元对应的投影地址到 c₀ 与理论 COR 地址的距离，X₀ 和 X₁₈₀ 分别为 P₀ 和 P₁₈₀ 的投影地址，方向相反且与实际 COR 地址的距离均为 τ₁。将 P₁₈₀ 以理论 COR 地址为中心进行翻转变换得到 ，设其投影地址为 ，则 与理论 COR 地址的距离仍为 τ₂。 可表示为

图 2.

Schematic diagram of the 0° and horizontally flipped 180° projection addresses in sinogram

0° 与 180° 翻转的投影地址示意图

3

在图 2 中，offset 表示 P₀ 和 中同个探测器单元在投影地址上的偏移。从图 2 可以看出：

4

5

由式（4）和（5）可得实际 COR 地址：

6

由式（6）可以看出，计算实际 COR 地址的关键在于得到准确的 offset 值。

由式（2）可得

7

8

由式（3）、（7）和（8）可得

9

由式（6）和（9）可以看出，通过平移 直到与 X₀ 的投影地址一一对应，则此时对应的平移步长可以用来估计 offset 值，继而得到实际 COR 地址。本文采用 L₁ 范数对偏移量 offset 进行量化，其定义如式（10）：

10

在进行算法实现时，基于 X₀ 与 在相同投影地址的投影信息差值最小，可得

11

与 分别为 与 翻转的投影信息，最终得到 COR 的计算公式：

12

背景噪声会掩盖 sino 图的主要部分，使校正的结果存在较大误差，本文在平移匹配之前，先采用 OTSU^[11]分割背景噪声并将其置零，从而减小噪声影响，提高校正的准确性。以 SD 雄性大鼠牙齿样本投影数据为例，图 3 左列上图为校正前的 sino 图，其中红线代表理论 COR，黄线代表实际 COR，可看出实际 COR 与理论 COR 存在偏移；图 3 左列下图代表校正前的 sino 图中投影信息 P₀ 和 ，黑箭头所示为背景噪声。图 3 右列上图代表校正后的 sino 图，其采用插值补列方法使实际 COR 位于 sino 图列中心以进行 COR 校正；图 3 左列下图代表校正后的 sino 图中投影信息 P₀ 和 ，可以看出，校正后的 P₀ 和 几乎完全重合。综上所述，本文提出新算法的具体步骤及流程图（见图 4）如下所示。

图 3.

The 0° and 180° projection data of the dental tissues before and after correction

校正前后的牙齿样本 0° 和 180° 投影信息

图 4.

Flow chart of new algorithm

新算法流程图

（1）提取 sino 图中投影角度为 0° 和 180° 的投影信息 P₀ 和 P₁₈₀；

（2）翻转 P₁₈₀ 得到投影信息 ；

（3）对 P₀ 和 进行 OTSU 处理，将背景噪声置零；

（4）对 P₀ 和 利用 L₁ 范数量化投影信息最小偏移，即投影地址最佳匹配，然后利用式（12）求得实际 COR 地址，通过插值补列（零填充）的方法使实际 COR 作为新的 sino 图的列中心以实现 COR 校正。

2. 实验设计

2.1. 仿真实验

仿真实验采用 512 × 512 的 Sheep-Logan 头模型，对其进行 radon 变换得到 sino 图。在 sino 图的左侧或右侧，以等差数列的形式（n=4，6，8， ）插入不同列数的零值来模拟 COR 向右或向左偏移，选用互相关算法作为对比算法。实际的 sino 图含有因光源不稳定和光子散射产生的噪声，因此，加入随机梯度噪声和高斯噪声（见图 5）分别进行模拟，并分别测试偏移量的大小和噪声的强弱对计算 COR 准确性的影响。

图 5.

The noisey sinogram with the random gradient and Gaussian noise and typical reconstructed images after correcting COR using cross-correlation method and new algorithm

加入随机梯度噪声和高斯噪声的 sino 图及利用互相关法和新算法校正 COR 后的典型重建图像

对加入随机梯度噪声的 sino 图分别使 COR 偏移 4、6、8、10 个像素，测量的 COR 结果如表 1 所示，随着偏移量增大，新算法比互相关法测量的 COR 更准确，抗噪性更强。在 sino 图中分别加入方差为 0.2、0.4、0.6、0.8、1.0、1.2 和 1.4 的高斯噪声并偏移 12 个像素，用上述方法进行 COR 测量，如图 6 所示。随着噪声方差的增大，特别是大于 0.4 时，噪声干扰严重，互相关算法测得的 COR 明显偏离真实值，而新算法测得的 COR 始终接近真实值，说明本文提出新算法的抗噪性强且校正准确。选择偏移像素为 10 时和噪声方差为 1 时两种算法测得的 COR 分别进行 FBP 重建，并采用同一窗宽成像，如图 5 所示，互相关法图像均有明显拖尾，而新算法无拖尾，图像边缘完整，也可直观地说明新算法的校正效果更好。

表 1. The measurements of COR using different algorithms with the random gradient noises.

加入随机梯度噪声后不同算法得到的 COR

偏移像素	真实 COR	本文算法	互相关
4	260.5	260	259.5
6	262.5	262	261.0
8	264.5	264	263.5
10	266.5	266	256.5

图 6.

The measurements of COR using different algorithms with different Gaussian noise levels

加入不同方差的高斯噪声用不同方法得到的 COR

根据上述方法测得的 COR，采用 FBP 算法进行重建，并用相对误差（relative error，RE）^[12]、峰值信噪比（peak signal to noise ratio，PSNR）^[12]、通用质量指数（universal quality index，UQI）^[13]进行定量分析（见图 7）。RE 是计算重建图像与参考图像误差的指标，数值越小，则重建图像越接近参考图像，其定义为

图 7.

The quality metrics of the reconstructed images with different noise levels

含有不同噪声程度的重建图像的质量指标

13

其中， 和 分别表示重建图像与参考图像（标准头模型）。PSNR 是用于估计重建精度的误差质量指标，数值越大，抗噪性越好，重建质量越好，其定义如下：

14

15

其中，头模型图像的灰度范围是 0～255，Peak 为最大灰度值，即 255。UQI 是全参考图像质量客观评价方法之一，用于衡量图像在相关度、亮度及对比度的失真等方面的质量，数值范围是［–1，1］，数值越大，重建图像越接近参考图像，其定义如下：

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其中，Cov（x，y）表示 和 的协方差， 和 分别表示 和 的方差，u_x 和 u_y 分别表示 和 的平均值。

互相关法和新算法的定量分析结果如图 7 所示，当噪声方差大于 0.4 时，噪声干扰严重。总体而言，新算法测得 COR 的重建图像 RE 更小，PSNR 更高，UQI 更高，质量更好。

此外，本研究对 COR 偏移 12 像素的 sino 图进行稀疏采样并测量 COR，将 COR 与未采样时的位置相对应，从而探究本文所提方法在不同探测器采样率下是否具有鲁棒性。如图 8 所示，探测器采样率分别为 10%、13%、17%、20%、25%、33%、50% 和 100%，可以看出，新算法测得的 COR 基本接近真实值，具有很好的鲁棒性。

图 8.

The measurements of COR for different sampling rates

不同探测器采样率下测得的 COR

2.2. 真实实验

针对基于同质性和异质性生物材料投影信息的不同，本文分别选用肝纤维化雄性 SD 大鼠肝脏（同质性）和健康雄性 SD 大鼠的牙齿（异质性）作为实验样本，样品分别由首都医科大学附属北京友谊医院动物研究中心和北京维通利华实验动物技术有限公司提供，实验在上海同步辐射装置（Shanghai Synchrotron Radiation Facility，SSRF）的 BL13W1 线站进行，采用类同轴相衬成像方法，并利用基于相位恢复的 CT 重建方法获得样品断层图像。探测器分辨率为 9 μm，样品与探测器之间的距离为 0.8 m；CT 扫描时，成像能量分别为 24 keV 和 33 keV，样品在转台上分别以 0.35 °/s 和 0.15 °/s 的速度旋转 180°，总投影数分别为 731 张和 959 张，投影图像大小分别为 2 928 × 581 和 3 992 × 513，重建图像大小分别为 1 025 × 1 675 和 720 × 630。

本文选取第 213 层相位恢复后的牙齿数据并得到 sino 图，用互相关算法与新算法进行COR校正并进行 FBP 重建，采用同一窗宽进行成像。图 9 右图中，红箭头为牙釉质，白箭头为牙髓腔，黄箭头为牙槽骨、蓝箭头指示的黑色区域分布着牙周韧带，均清晰可见。从绿框放大的图像中看出，互相关法存在条状伪影且图像内容不清晰，空隙（紫箭头所示）存在拖尾。本文算法校正后所得重建图像清晰，无条状伪影，且可以清晰地看到牙槽骨表面的空隙（紫箭头所示）和软组织（橙箭头所示），可应用于正畸期间牙槽骨重塑的研究。

图 9.

The CT images of the dental tissues with different COR values and the corresponding magnified regions of interest

不同 COR 重建牙组织 CT 及感兴趣区域放大图像

同样，选取第 280 层相位恢复后的肝脏数据并得到 sino 图，用上述两种方法进行COR校正并重建，采用同一窗宽进行成像。图 10 右图中，可观察到轮廓清晰、无拖尾的肝静脉（红箭头所示），从绿框放大的图像中也可以看出，互相关法存在拖尾且管腔不清晰，影响图像质量，而新算法可清晰地观察到小脉管，重建质量有很大提高，可应用于肝纤维化微脉管的研究。

图 10.

The CT images of the liver tissues with different COR values and the corresponding magnified regions of interest

不同 COR 重建肝脏组织 CT 及感兴趣区域放大图像

对上述两个样品的 sino 图进行稀疏采样并测量 COR，探测器采样率分别为 10%、13%、17%、20%、25%、33%、50%、100%，如图 11 所示。其中，黑线和蓝线分别为牙齿数据和肝脏数据测得的 COR，可以看出，探测器采样率不同时，牙齿数据和肝脏数据测得的 COR 值变化幅度都在三个像素以内，说明本文方法具有很好的鲁棒性，在投影数据不足的情况下（采样率为 10%～50%）也能很好地校正。

图 11.

The measurements of COR wih the different sampling levels

不同探测器采样率下测得的 COR

3. 结论

本文利用 sino 图的 0° 和 180° 投影数据翻转后具有对应性的特点，只对这两行数据进行平移匹配，采用L₁ 范数量化 COR 最小偏移，并在该计算方法的基础上引入 OTSU 分割背景噪声，从而简单快速且更准确地进行校正。仿真实验结果表明，分别加入随机梯度噪声和不同噪声强度的高斯噪声，新算法均能准确校正 COR，优于互相关算法，具有较好的抗噪性。选择不同采样率模拟稀疏采样计算 COR，新算法在 10%～50% 稀疏采样投影数据不足时也能很好地校正 COR 值，优于互相关算法，具有较好的鲁棒性。实际数据实验结果表明，经新算法COR校正后，重建图像能清晰地呈现出牙齿结构和肝脏管腔，无互相关法校正重建后的拖尾、条状伪影，有效地提高了图像质量，有助于临床上对于牙槽骨重塑和肝纤维化脉管的研究。下一步工作是将该算法推广到扇束和锥束投影模型，增大该算法的普适性。

Funding Statement

国家自然科学基金项目（81371549，81671683）；天津市自然科学基金项目（16JCYBJC28600）；光电信息技术教育部重点实验室（天津大学）开放课题项目（2017KFKT004）；天津市卫计委科技基金项目（2015KZ111）