关节软骨缺损修复区应力状态分析

Abstract

Based on transversely isotropic theory, a finite element model for three-dimensional solid-liquid coupling defect repair of articular cartilage was established. By studying stress state of host cartilage near the restoration interface, we identified deformation type of cartilage and discussed the cause of restoration interface cracking. The results showed that the host cartilage surface node near the restoration interface underwent compression deformation in the condition of surface layer defect repair. When the middle layer, deep layer or full-thickness defect were repaired, the node underwent tensile deformation. At this point, the radial dimension of cartilage increased, which might cause restoration interface cracking. If elastic modulus of the tissue engineered cartilage (TEC) was lower (0.1 MPa, 0.3 MPa), the host cartilage surface layer and middle layer mainly underwent tensile deformation. While elastic modulus of TEC was higher (0.6 MPa, 0.9 MPa), each layer of host cartilage underwent compression deformation. Therefore, the elastic modulus of TEC could be increased properly for full-thickness defect repair. This article provides a new idea for evaluating the effect of cartilage tissue engineering repair, and has a certain guiding significance for clinical practice.

引言

关节软骨是人体关节的重要承力组织，主要功能是减小摩擦和磨损及将关节软骨表面的载荷均匀地传递到软骨下骨，对活动关节起着非常重要的支撑和保护作用。随着国民生活水平的提高，高能、高强度运动增多，且人口老龄化日趋严重及肥胖人口比例上升，关节软骨损伤成为骨科临床常见疾病之一，若不加以有效治疗最终会发展成骨性关节炎^[1-2]。由于软骨组织内没有血供和淋巴回流为其提供营养，损伤后很难自行修复，软骨损伤后的有效治疗成为临床上亟待解决的难题^[3]。近年来，随着组织工程技术逐渐成熟，使其有希望成为治疗软骨损伤的最有效方法^[4-5]。尽管该方法在临床上取得了一定进展，但大多短期疗效较好，长期修复效果具有不确定性。主因之一是目前还无法构建出可媲美天然软骨生物力学性能的组织工程化软骨（tissue engineering cartilage，TEC），植入的 TEC 与宿主软骨间力学性能的差异显著地改变了修复界面及邻近宿主软骨和细胞的力学环境，常出现移植物退化变性、修复界面开裂及宿主软骨降解等现象^[6-7]。因此，邻近修复界面宿主软骨的力学状态是影响修复效果的关键因素之一。

关节软骨是由固相（包括：蛋白多糖、胶原纤维）和液相（水）构成的多孔结构，孔隙中充满组织液，液相约占软骨重量的 65% 以上，有的部位可达 80%，具有显著的非线性粘弹特性。加载初期，液相能承担高达 90% 的载荷从而保护胶原纤维网免于高应力的破坏，且组织液在压力梯度作用下流动利于软骨中营养物质的传递和交换。因此，学者们普遍认为固液耦合双相模型是研究软骨承载特性的基础，包括纤维增强双相模型和横观各向同性双相模型。由于软骨中纤维的直径、含量及走向依深度变化，在软骨的二维有限元模型中可以使用弹簧单元或者杆单元来表征胶原纤维，而纤维的空间分布规律却没有相应描述^[8]。实际上，表层胶原纤维的走向与软骨表面平行，如同编织的毯子，从而在软骨表面形成了一层不透水的纤维网络。Clark^[9]据此提出了软骨的横观各向同性模型，经研究验证，此模型能够成功地预测应力集中的位置^[10]。随着关节软骨横观各向同性理论逐渐成熟，Elhamian 等^[11]应用实验和理论相结合的方法提出了关节软骨随深度变化的横观各向同性微观力学模型，该模型进一步促进了相关研究的发展。

体外实验研究表明，应力状态下软骨细胞的生物力学环境的改变致软骨基质分解代谢的变化能显著地影响关节软骨的生理功能^[12]。孟迪等^[8]通过有限元模拟研究了缺损修复形状对修复区的米塞斯（Mises）应力分布影响的规律。Mises 应力是基于第四强度理论（剪切应变能）的等效应力，几乎所有的有限元分析结果中默认的都是 Mises 应力。通过 Mises 应力云图可确定软骨缺损修复的危险区域，是分析应力分布变化规律的重要指标，但 Mises 应力是标量，没有力的方向性指示。因此，无法展现修复区复杂的力学环境，邻近修复界面宿主软骨的应力状态可能与修复界面的整合情况密切相关，而相关研究却鲜见报导，常用空间某一点的三个主应力（ 、 、 ）表示该点的应力状态。何祝斌等^[13-16]给出了在主坐标系中，空间一点正应力、剪应力的描述方程，并绘制了一点的剪应力三维图形和偏应力空间中的正应力图形，从图形中能判断不同应力状态下材料发生变形的类型及尺寸变化的规律，为结构设计或应力、应变分析提供了一种直观有效的方法。

本文建立了基于横观各向同性的关节软骨固液耦合双相三维缺损及修复的有限元模型。通过数值模拟和理论分析，对比研究表层、中间层、深层和全层软骨缺损修复的情况下，邻近修复界面的宿主软骨表面层单元上节点的应力状态、变形类型及材料尺寸的变化规律；并对比分析使用不同弹性模量（0.1、0.3、0.6、0.9 MPa）的 TEC 修复全层软骨缺损后，邻近修复界面各层宿主软骨的应力偏量值（ 、 、 ）随深度变化的规律。在三向应力状态下，预测软骨缺损修复界面开裂的原因具有重要的理论和临床实际意义。

1. 有限元模型构建及材料参数

 

关节软骨位于股骨远端和胫骨近端的关节面上，有研究表明，当软骨缺损直径小于 3 mm 时依靠自身的修复能力可部分或全部修复，而直径大于 3 mm 则不能自行修复^[17]。正常人体关节软骨的厚度为 1～5 mm，由于其形状不规则，通常采用简化模型进行研究。本文应用有限元软件 ABAQUS 6.10（SIMULIA，法国）建立厚 2 mm、半径 15 mm 的圆柱形胫骨软骨几何模型，而圆柱形 TEC 的直径为 4 mm，用半径 20 mm 的刚性球模拟股骨软骨^[18]。如图1所示，为便于施加位移载荷，在球体中心设置一个施加载荷的点；在邻近修复界面左侧的宿主软骨内取一条路径（如图1中路径一所示）、宿主软骨表面层取一节点（如图1中位置一所示）用于后续的应力状态分析。

图 1.

The sectional sketch of unconfined compression finite element model for articular cartilage with full-thickness defects repair

关节软骨全层缺损修复的非围限压缩有限元模型截面 示意图

胶原纤维是构成关节软骨三维网状结构的重要组成成分，能使关节适应各种机械负荷。根据胶原纤维的排列情况，关节软骨在形态学上可分为表层、中间层和深层。表层占软骨厚度的 10%～20%，胶原纤维较细密且走向与软骨表面平行；中间层占软骨厚度的 40%～60%，胶原纤维较粗且走向与软骨表面交叉、排列不整齐；深层占软骨厚度的 30%，纤维粗大且走向与软骨表面垂直^[19]。由于各层胶原纤维和蛋白多糖的含量、体积分数及纤维走向不同，导致关节软骨的力学性能依深度而变化。

Elhamian 等^[11]通过理论和实验分析得到了基于横观各向同性理论的关节软骨材料参数随深度变化的曲线图，其中软骨模型的空间坐标系为轴向z、径向r和圆周方向θ。各材料参数均随深度方向的坐标值z变化：如弹性模量E_z（z）、E_r（z）、E_θ（z），泊松比v_rθ（z）、v_rz（z）、v_θz（z），切变模量G_rθ（z）、G_rz（z）、G_θz（z）。本文应用数学软件 Mathematica 7.0（Wolfram Research，美国）对从曲线上提取的多组数据进行拟合，得到材料参数随归一化深度 值（ ，h = 2 mm 为软骨厚度）变化的非线性关系表达式，如式（1）所示。由于篇幅所限，仅以弹性模量 为例：

1

软骨有限元模型沿厚度共分为 10 层，其中 1～2 层、3～7 层、8～10 层分别为软骨的表层、中间层、深层。将平分每层厚度的 值代入各非线性关系式可得材料参数，如表 1 所示。

表 1. Material parameters of the articular cartilage.

关节软骨材料参数

有限元分层	Er/MPa	Eθ/MPa	Ez/MPa	v rθ	v rz	v θz	Grθ/MPa	Grz/MPa	Gθz/MPa
1	0.809	0.809	0.085	0.311	0.104	0.099 297	0.308	0.037 8	0.037 8
2	0.791	0.791	0.127	0.310	0.083	0.073 687	0.300	0.037 6	0.037 6
3	0.760	0.760	0.175	0.311	0.056	0.057 606	0.291	0.037 4	0.037 4
4	0.695	0.695	0.394	0.307	0.038	0.035 078	0.267	0.037 2	0.037 2
5	0.643	0.643	0.574	0.306	0.029	0.028 586	0.245	0.037 0	0.037 0
6	0.624	0.624	0.580	0.304	0.029	0.028 276	0.239	0.036 9	0.036 9
7	0.593	0.593	0.667	0.302	0.027	0.025 598	0.229	0.036 8	0.036 8
8	0.470	0.470	1.045	0.288	0.020	0.018 857	0.180	0.036 7	0.036 7
9	0.227	0.227	1.666	0.226	0.010	0.010 419	0.090	0.036 9	0.036 9
10	0.077	0.077	2.050	0.200	0.004	0.003 486	0.032	0.037 0	0.037 0

渗透率k是表征流体通过多孔材料能力的参数，其大小取决于材料的孔隙率和液体渗透方向上孔隙的几何形状等因素，k与应变相关，如式（2）所示^[20]：

2

式中，k₀ = 1.743 × 10^–15 m⁴/（N·s），为初始渗透率；M = 7.081 为材料渗透常数；e和e₀ 分别为当前孔隙率和初始孔隙率。e₀ 随深度变化的关系式，如式（3）所示^[21]：

3

式中， 为软骨表层初始孔隙比；α_e = 0.413 为材料常数。TEC 的初始孔隙比取为 9^[20]。软骨底部固定且不可渗透，设软骨侧面孔压为 0，可实现液相流动及渗出^[22]。

在球体中心处施加位移载荷。首先，刚性压头向下移动与软骨接触；之后，施加z向位移载荷，确保压缩量达到软骨厚度的 30%；最后，令压头保持某一固定值，给定足够松弛时间分析其力学行为。

2. 结果

由于根据 Mises 应力云图无法得知危险区域受拉应力还是压应力，也无法确定该区域是主应力还是剪应力占主导，因而无法判别修复界面开裂的原因。因此研究者们更应关注应力在不同区域、不同方向上的形式。通过绘制主应力矢量图可清晰地呈现物体内部的受力情况，如拉、压应力的大小及方向。

2.1. 关节软骨缺损修复区的应力分布

关节软骨具有流固耦合特性，液相在压力梯度作用下流动持续地改变着修复区的力学环境。本文以弹性模量 0.3 MPa 的 TEC 修复全层缺损为例，数值模拟应力松弛情况下不同加载时刻软骨缺损修复区的应力分布，如图 2 所示。加载初期（前 2 s），在邻近修复界面的宿主软骨表层出现 Mises 应力及第一、二主应力（ 、 ）集中的现象，且 、 均为正值，在邻近修复界面的宿主软骨底部出现第三主应力（ ）集中的现象且为负值，表明此时 、 起主导作用；当加载到 1 000 s 时，Mises 应力在修复区边界底部的宿主软骨上出现应力集中，此时 起主导作用。

图 2.

Contours of Mises stress and principal stress (σ₁、σ₂、σ₃) in full-thickness defect repairing area at different loading time

不同加载时刻全层缺损修复区 Mises 应力和主应力（σ₁、σ₂、σ₃）分布云图

主应力是矢量，可用箭头表示各点主应力的方向，如图 3 所示。 沿圆周方向（θ向）并平行于软骨表面、 从压头正下方沿径向向四周呈放射状分布（r向）、 近似沿轴向（z向）。

图 3.

Vector diagrams of principal stress (σ₁、σ₂、σ₃) in defect repairing area of cartilage

软骨缺损修复区主应力（σ₁、σ₂、σ₃）矢量图

2.2. 修复深度不同时，邻近修复界面的宿主软骨表面节点的应力状态分析

临床研究发现，即使使用医用生物胶粘合 TEC 与宿主软骨，仍无法保证修复组织与邻近宿主软骨愈合良好，且两者之间普遍存在裂隙。生理载荷作用下，表层软骨变形最显著。因此，在邻近修复界面的宿主软骨表层选取单元 36 693 上的节点 2 493（图 1 中位置一）进行应力状态分析，如图 4 所示。研究三维应力状态下材料的变形类型和尺寸变化的规律，探索修复界面开裂的原因。首先，从数值模拟结果中提取节点 2 493 的三个主应力（ 、 、 ）值。平均应力（静水压力）值为 = （ + + ）/3，则各应力偏量值为 （i = 1，2，3）。节点 2 493 的各主应力和应力偏量值（ 、 、 、 、 、 ），如表 2 所示。

图 4.

The element and node selection of the surface layer host cartilage near the defect repairing interface

在邻近缺损修复界面的表层宿主软骨内选取单元和节点

表 2. The values of principal stress and stress deviation of node 2 493 for different repairing depth.

不同修复深度时节点 2 493 的主应力和应力偏量

修复深度	/MPa	/MPa	/MPa	/MPa	/MPa	/MPa	/MPa
表层	0.006	0.002	– 0.009	– 0.000 33	0.006 33	0.002 333	– 0.008 67
中间层	0.009 2	– 0.002 88	– 0.008 8	– 0.000 84	0.010 02	– 0.002 05	– 0.007 97
深层	0.009 9	– 0.001 48	– 0.007 83	0.000 196	0.009 7	– 0.001 67	– 0.008 03
全层	0.009 635	– 0.000 74	– 0.007 44	0.000 483	0.009 152	– 0.001 23	– 0.007 93
无缺损	– 0.003	– 0.006	– 0.013	– 0.007 33	0.004 33	0.001 333	– 0.005 67

已知在三维空间中一点的主应力为 、 、 ，过该点斜面法线的方向余弦分别为l、m、n。该斜面上的全应力S、正应力 σ_N 及剪应力 τ，各应力值分别如式（4）、（5）、（6）所示^[12]：

4

5

6

设正应力在 3 个主方向上的分量分别为 、 、 ，规定当正应力沿截面的外法线方向为正、沿内法线方向为负，则可得到正应力为正、负的描述方程，如式（7）所示：

7

设剪应力在 3 个主方向上的分量分别为 、 、 ，可得剪应力的描述方程，如式（8）所示：

8

列维-米塞斯（Levy-Mises）应力应变关系，如式（9）所示^[15]：

9

式中， 为与材料性能相关的瞬时非负标量，分母为应力偏量分量，分子为相应的应变增量。公式（9）表明，一点的瞬时尺寸变化由应力偏量决定。若 ，则始终有 、 ，即 、 。 的正（负）由 的正（负），即 接近 和 的程度决定。当 时， ，材料为压缩类变形；当 时， ，材料为拉伸类变形。故 的正（负）能直接判断物体的变形类型。此外，剪应力图形和应力偏量中的正应力图形与物体的变形类型有内在联系，且正应力图形能够判断材料各方向上尺寸的变化趋势^[14]。

将表 2 中的数据代入式（7），可绘制节点 2 493 在应力偏量中的正应力图形，如图 5 所示。分别用黄（红）色表示正应力的正（负）区域，各方向上黄色代表材料尺寸增加、红色代表尺寸减小。可知软骨表层缺损修复和无缺损时，节点 2 493 在三维应力状态下发生压缩类变形；中间层、深层、全层缺损修复时，节点 2 493 在三维应力状态下发生拉伸类变形。

图 5.

Three dimension normal stress graphics of the node 2 493 in stress deviation for different repairing depths

不同修复深度时，节点 2 493 在应力偏量中的正应力三维图形

将表 2 中的数据代入式（8），可绘制节点 2 493 的剪应力图，如图 6 所示。软骨表层缺损修复和无缺损时，节点 2 493 的剪应力图形开口向上，节点发生压缩类变形；软骨中间层、深层和全层缺损修复时，节点的剪应力图形开口向两侧，节点发生拉伸类变形。

图 6.

Three dimension shear stress graphics of node 2 493 for different repairing depths

不同深度修复时，节点 2 493 的剪应力三维图形

上述研究结果表明，表层缺损修复时节点发生压缩类变形，软骨径向尺寸减小，修复界面不易开裂；非表层缺损修复时节点发生拉伸类变形，软骨径向尺寸增加，修复界面有开裂的趋势。

2.3. TEC 弹性模量不同时邻近修复界面各层宿主软骨的应力状态分析

临床上，全层缺损可使血流达到损伤区域利于修复^[23]。本文通过研究不同弹性模量的 TEC 修复软骨全层缺损后，邻近修复界面各层宿主软骨（图 1 中路径一）的应力偏量、变形类型随深度变化的规律，以探寻合适的 TEC 材料参数。路径一上各点的应力偏量值（ 、 、 ）随深度变化的曲线图，如图 7 所示。TEC 弹性模量不同时， 均为正值， 均为负值， 有正、负之分，而 的正（负）反应材料的变形类型。

图 7.

Curves of the stress deviator of each point on the path 1 with normalized depth for different TEC elastic modulus

TEC 弹性模量不同时，路径一上各点的应力偏量随归一化深度变化的曲线

TEC 的弹性模量为 0.1 MPa 时，路径一上从软骨表层起约占软骨厚度 65%（表层和大部分中间层软骨）的范围内点的 为负，即此应力状态下软骨发生拉伸类变形，而余下的 35%（深层软骨）发生压缩类变形；TEC 的弹性模量为 0.3 MPa 时，路径一上从软骨表层起约占软骨厚度 47%（表层和部分中间层软骨）的范围内点的 为负，而余下的 53%（部分中间层和深层软骨）发生压缩类变形；TEC 的弹性模量较高（如 0.6 MPa、0.9 MPa）时，路径一所有点的 均为正值，此时修复区各层宿主软骨均发生压缩类变形。由前文可知，当缺损修复区邻近修复界面的宿主软骨发生拉伸类变形时，软骨径向尺寸增加，该趋势易造成修复界面开裂，因此可适当增大 TEC 的弹性模量。

3. 结论

本文首次通过分析软骨缺损修复区邻近修复界面宿主软骨的应力状态来判别软骨的变形类型，探索修复界面开裂的原因。研究发现，软骨表层缺损修复时，邻近修复界面的宿主软骨表面节点发生压缩类变形，与无缺损软骨相同；软骨中间层、深层和全层缺损修复时，宿主软骨表面节点发生拉伸类变形，表明此时软骨径向尺寸增加，易致修复界面开裂。对于软骨全层缺损修复，TEC 的弹性模量较低（如 0.1 MPa、0.3 MPa）时，修复界面附近的表层和大部分中间层宿主软骨发生拉伸类变形，发生拉伸类变形的范围随 TEC 的弹性模量增大而减小；TEC 的弹性模量较高（如 0.6 MPa、0.9 MPa）时，邻近修复界面各层宿主软骨均发生压缩类变形，利于修复。

综上所述，临床上若软骨为表层缺损，即采用表层缺损修复；若缺损为表层以下（如中间层、深层）可应用手术刀具制作成全层缺损后再进行修复并适当增大 TEC 的弹性模量，从而利于缺损修复。基于此，期待本文研究成果对临床修复具有一定的参考意义。但由于本文研究建立的模型过于理想化，无法模拟出关节软骨缺损修复区的真实生物力学环境，因此具有一定的局限性。

Funding Statement

国家自然科学基金重点项目（11432016）；国家自然科学基金面上项目（11672208）；国家自然科学基金青年项目（11402172，11602169）