皮肤炎症启动过程中树突状细胞的迁移及其诱导初始 T 细胞特异性增殖的数值模拟

Abstract

Dendritic cells (DCs) are the most potent and specialized antigen-presenting cells (APCs) currently known, which play a crucial role in initiating and amplifying both the innate and adaptive immune responses. During the process of immune function, migration ability of DCs and the number of effector T cells which activated by DCs are closely related to the efficiency of immune function. However, because of the complexity of immune system, in the immune response process caused by the skin chronic inflammatory, much is still unknown about the dynamic changes of cell count with time. Therefore, we created a differential equations model to reflect the initial stages of the immune response process caused by the skin chronic inflammatory via setting the function and initial conditions of parameters. The results showed that the model was able to simulate migration and proliferation of cells in vivo within realistic time scales in accordance with the proliferation and migration efficiency in real terms. In addition, the preliminary model can biologically predict the realistic dynamics of DCs and T cells at different time points. All these results may provide a theoretical reference for studying the immune function of DCs as well as guiding the clinical treatment for immune related diseases further.

引言

树突状细胞（dendritic cells，DCs）是一种特化的抗原提呈细胞（antigen presenting cells，APCs），具有强大的抗原摄取和处理能力，能够向初始 T 细胞呈递抗原，从而诱导免疫应答或耐受。DCs 可分为未成熟 DCs（immature DCs，imDCs）和成熟 DCs（mature DCs，mDCs）两个分化阶段。在机体内，imDCs 位于外周组织，其主要功能是通过受体介导的内吞和胞饮等方式摄取抗原^[1-3]。获得抗原后，imDCs 逐渐分化为 mDCs，并逐渐上调白细胞分化抗原（cluster of differentiation，CD）80 和 CD86、主要组织相容性复合体（major histocompatibility complex，MHC）、趋化因子受体 7（C-C chemokine receptor type 7，CCR7）等分子的表达，并沿着淋巴管内皮细胞分泌的趋化因子配体（C-C motif chemokine ligand，CCL）19 和 CCL21 浓度梯度，迁移至二级淋巴组织。在淋巴结内，mDCs 与初始 T 细胞发生动态的物理性接触，通过细胞膜表面的 MHCⅠ或 MHCⅡ类分子向其呈递所获抗原，刺激初始 T 细胞特异性增殖，从而启动适应性免疫应答或耐受。

机体的皮肤组织不仅作为机体与外界环境之间的一道机械屏障，而且是机体抵御外界潜在抗原的第一道免疫防线^[4]。在皮肤组织中，上皮细胞、免疫细胞与基质之间存在密切的信号传递，以确保有效抵御外界抗原的侵袭并维持机体免疫系统的稳定^[5]。当皮肤感染或损伤出现时，imDCs 在皮肤炎症部位迅速摄取并处理抗原，同时向淋巴结迁移，并逐渐分化为 mDCs。淋巴结内的初始 T 细胞通过识别由 DCs 提呈的抗原而活化，并在淋巴结内发生特异性增殖，继而效应 T 细胞迁移出淋巴结来到皮肤清除抗原或维持炎症。通常情况下，抗原一旦清除完毕，炎症就会消退。但在健康皮肤中，即非炎症状态下，依然有较少的 DCs 从皮肤迁移到淋巴结，目的是为了帮助免疫系统维持对自体抗原的免疫耐受^{[3, 6]}。

在免疫应答的初始阶段，DCs 的迁移能力及其刺激初始 T 细胞特异性增殖的能力对其有效的发挥免疫功能起到重要作用。然而，由于免疫系统的复杂性，对炎症启动阶段 DCs 及 T 细胞数量的动态变化目前鲜有相关研究。为了更精确地研究炎症启动阶段 DCs 与效应 T 细胞数量随时间的变化，本研究将 DCs 的迁移以及随后刺激初始 T 细胞特异性增殖的过程简化为数学模型，通过构建常微分方程模型来模拟炎症诱导的特异性免疫应答启动的初始阶段。皮肤部位炎症引起免疫应答的初始阶段可以分为三个阶段：第一阶段，皮肤炎症部位由于抗原的刺激，DCs 从外周组织迁移至皮肤炎症部位；第二阶段，负载抗原的 DCs 迁移至淋巴结；第三阶段，淋巴结内初始 T 细胞的活化和特异性增殖。本文通过设置参数与函数关系式，将不同阶段 DCs 以及 T 细胞的数量变化简化为关于时间的方程，用来模拟炎症状态下，DCs 引起 T 细胞免疫应答的初始阶段。

1. 方法

1.1. 模型构建的前提与假设

（1）设定抗原浓度在皮肤组织中线性增加，直到其达到最大值；

（2）在抗原进入皮肤部位之初，皮肤炎症部位的 DCs 是微量的，随着抗原浓度逐渐增加，皮肤组织中一些非免疫细胞释放出炎性因子，DCs 受到炎性因子的招募进而迁移至炎症部位^[7]；在炎症部位，DCs 摄取并处理抗原，随后，负载抗原的 DCs 从炎症部位定向迁移至淋巴结^[8]；

（3）DCs 不会在皮肤上增殖^[3]；

（4）大约仅 1% 负载着抗原的 DCs 离开皮肤炎症部位后能定向迁移至淋巴结^[9]，暗示在迁移过程中，DCs 有相当大的损耗；

（5）假设能达到淋巴结的 DCs 都能活化 T 细胞；

（6）假设当每毫克淋巴结中的 DCs 的数量达到某个临界值时，淋巴结内的 T 细胞才会开始特异性增殖^[10]。

本研究构建了常微分方程来模拟每毫克淋巴结中的 DCs 的数量（D_L）和每毫克皮肤中 DCs 的数量（D_S）随时间（t）的变化。除此之外，由于淋巴结内负载抗原的 DCs 的数量变化引起每毫克淋巴结中 T 细胞的数量（Q）的变化也利用方程进行数值模拟。上述参量的初始值及单位在表 1 中给出。

表 1. The initial value of variables and parameters.

变量和参数的初值

物理量符 号或参数	定义	初始值
DS/（个·mg–1）	每毫克皮肤组织中 DCs 的数量	0
DL/（个·mg–1）	每毫克淋巴结内 DCs 的数量	0
Q/（个·mg–1）	每毫克淋巴结内 T 细胞的数量	1
A/（ng·mg–1）	抗原的浓度	0
tL/h	抗原的浓度到达临界值的时间	4
AL/（ng·mg–1）	抗原浓度的临界值	4
DLL/（个·mg–1）	每毫克淋巴结中 DCs 的数量的 临界值	1×102
DLM/（个·mg–1）	每毫克淋巴结中 DCs 的数量上限	2×104
δ/h–1	DCs 的凋亡率	1/72
α（DL，t ）/（mg–1·h–1）	淋巴结中 T 细胞增殖系数	0
m/个	每个 DCs 活化 T 细胞的数量	10
αmax/（mg–1·h–1）	淋巴结中 T 细胞增殖系数的上限	0.1
K0/h–1	初始时刻 DCs 从皮肤迁移至淋巴结的迁移率	2.08×10–7
K1/h–1	DCs 从皮肤迁移至淋巴结的平均 迁移率	2.08×10–5

当抗原进入皮肤后，DCs 受到炎性因子的招募而定向迁移至炎症部位。由于抗原种类的差别以及抗原累积速率或复制能力存在差异，为了简化模型，本研究设定抗原浓度呈线性增加至限定值。由于免疫系统的复杂性，本研究只关注了单个淋巴结内 DCs 以及 T 细胞数量的变化，通过构建每毫克组织中 DCs 和 T 细胞的数量随时间变化的数学模型，以期对体内 DCs 引起 T 细胞免疫应答的相关生理学行为做出预测。

1.2. 数学模型

DCs 的迁移始于皮肤部位抗原的刺激。本研究假设在这个过程中，从抗原进入皮肤部位之初，抗原浓度 A 随时间线性增加到临界值 A_L。此临界值到达的时间用 t_L 来表示。其中，A_L 和 t_L 为常量，其数值大小及取值依据在下文 1.4 小节中给出。本研究假设 A 以速率 1 线性增加，直至到达 A_L。在到达 A_L 之前，微量的 DCs 持续地从血液中向皮肤部位迁移。一旦 A 值达到 A_L，imDCs 就大量地从血液向皮肤炎症部位迁移。

DCs 从皮肤迁移至淋巴结的迁移率用参数 K 来表示。由于该初步模型目前只关注单个淋巴结内 DCs 数量的变化，因此，DCs 离开皮肤炎症部位的速率和到达淋巴结的速率都用 K 来表示。α_DB 表示 DCs 从血液中向皮肤部位迁移的迁移率。因此，每毫克皮肤组织中的 DCs 的数量变化可以用下述微分方程来描述：

1

假设到达淋巴结的 DCs 仅来自于皮肤，DCs 到达淋巴结的速率为 K。由于迁移至淋巴结的 DCs 不再重新迁移至外周组织^[11]，因此，D_L 的减少仅仅是由于 DCs 在淋巴结内的凋亡。研究表明，DCs 在淋巴结内的存活时间约为 3 d^[12]，因此，在该模型中，凋亡率设定为常量，用参数 δ 表示。因此，每毫克淋巴结上的 DCs 的数量变化可以用如下微分方程来描述：

2

假设淋巴结中 T 细胞的增殖符合逻辑斯谛（logistic）增长模型。由于淋巴结内 T 细胞的增殖是由迁移至淋巴结的 DCs 的活化引起，因此，淋巴结内 T 细胞的数量上限又与到达淋巴结内的 DCs 的数量相关。本研究假设到达淋巴结内的 DCs 都能够活化 T 细胞，并且有关研究表明，每个 DCs 可以在淋巴结内刺激 10 个 T 细胞的活化、特异性增殖^[13]，因此，在该模型中，Q 的上限是淋巴结中 DCs 的数量上限的 10 倍。该模型用 D_LM 表示每毫克淋巴结中 DCs 的数量上限，D_LM 为常量，其数值大小在下文 1.4 小节中给出。参数 m 表示每个到达淋巴结的 DCs 能够活化 T 细胞的个数，m 为常量，取值为 10。在淋巴结内，T 细胞的增殖系数 α 是关于时间 t 和 D_L 的函数，其公式如式（3）以及下文的式（5）所示。因此，每毫克淋巴结内 T 细胞的数量变化可以用如下微分方程来描述：

3

1.3. 模型参数表达式及意义

在本文模型中，DCs 离开皮肤的速率和到达淋巴结的速率都为 K。如前所述，由于本研究假设在 A 到达 A_L 之前，即 t <t _L 时，只有极少量的负载抗原的 DCs 迁移至淋巴结，此时 K 值为一个接近 0 的常数，该常数用 K₀ 表示，其数值大小在下文 1.4 小节中给出。因此，当 0 < t < t _L 时，K = K₀。当 t > t _L 时，DCs 开始大量地迁移至淋巴结。由相关文献得出，在同一时间段内，若每毫克皮肤组织中 DCs 的数量增加 2 倍，则该部位 DCs 的迁移率增加 3 倍^[14]。因此，当 t > t _L 时，参数 K 的表达式如式（4）所示。其中 K₁ 是活化的 DCs 从皮肤流向淋巴结的平均速率，K₁ 为常数，其数值大小及取值依据在下文 1.4 小节中给出。D_t 表示在 t_L 时刻，到达每毫克皮肤炎症部位的 DCs 的数量。D_t 的变化和 α_DB 相关，因此，D_t = t_L·α_DB。上述所有等式成立的条件是淋巴结中要有充足的空间允许新的 DCs 进入，即 D_L < D _LM。一旦 D_L 达到 D_LM，即 t > t _L 且 D_L ≥ D_LM 时，为了维持淋巴结内 DCs 的数量稳定，需要限定 K 的上限，此时 K 的最大值与 DCs 在淋巴结内的凋亡率 δ 呈正相关的关系，与 D_S 呈负相关的关系。因此，参数 K 的表达式如下：

4

T 细胞的增殖系数 α 是关于时间 t 和 D_L 的函数，在淋巴结内，当 D_L 增长至 D_LL 之后 T 细胞才会增殖。D_LL 表示每毫克淋巴结中 DCs 的数量的临界值，D_LL 为常量，其数值大小及取值依据在下文 1.4 小节中给出。D_LL 到达的时间用 t_LL 表示，t_LL 为变量，其数值随 α_DB 的值和 K 值的改变而改变。D_L 增长至 D_LL 之后，T 细胞的增殖符合逻辑斯谛增长模型，直到 α 达到最大值 α_max，α_max 为常量，表示 T 细胞在淋巴结内的最大增殖率。有研究表明，淋巴结内的 T 细胞在 72 h 之内即可完成特异性增殖^[15]，因此，本研究中令 T 细胞以逻辑斯谛增殖方式增殖的时间为 72 h，在下述公式中，用 t_α 表示 T 细胞以逻辑斯谛增殖方式增殖所需要的时间。因此，T 细胞的增殖系数 α 的表达式如下：

5

1.4. 模型涉及参数或变量的设定

（1）D_S（0） = 0，在皮肤组织非炎症状态下，迁移至皮肤部位的 DCs 的数量很少，可忽略不计^[7]，因此，在初始时刻，即当时间 t 为 0 时，D_S 的初值设置为 0；

（2）D_L（0） = 0，在皮肤组织非炎症状态下，从皮肤部位迁移至淋巴结内的 DCs 数量很少，可忽略不计^[8]，因此，在初始时刻，即时间 t 为 0 时，D_L 的初值设置为 0；

（3）Q（0） = 1，在非炎症状态下，淋巴结中活化的 T 细胞的数量很少^[8]，但由于本模型设定 T 细胞增殖符合逻辑斯谛增长模型，因此，需要一个不为 0 的初始值，因此，在时间 t 为 0 时，将初始时刻的 Q 取值为 1；

（4）m = 10，表示 D_S 达到 D_LL 之后，淋巴结内每个 DCs 可活化 10 个 T 细胞^[13]，因此每毫克淋巴结中的 DCs 能够活化 T 细胞的数量是 m·D_LM；

（5）t_L = 4，有研究显示，在受抗原刺激后，DCs 在炎症部位处理抗原需要 2～4 h^[14]，所以，为了确保 DCs 摄取抗原时间的充足，本研究取 t_L 为 4 h；

（6）A_L = 4，本研究假设 A 的增加速率为 1 直至到达 A_L。A 的增加速率是预估值，该速率会随着器官的不同而改变。目前，本研究暂时不考虑 A 的累积速率对 DCs 迁移的影响，只考虑了 A 累积到限定值所需要的时间。今后，在该数学模型的基础上，本研究会继续对炎症初期阶段涉及到的相关因素进行完善。因此，在本模型中，A_L 的预估值为 4，当 A 达到 A_L 时，恰好可以刺激 DCs 从血液迁移至皮肤摄取抗原，而后再迁移到淋巴结。一旦 D_S 达到 D_LL，T 细胞的活化过程就会被启动；

（7）D_LL = 100，有研究显示，每个淋巴结中大约有 1 000 个 DCs 可以充分的引起 T 细胞免疫应答（淋巴结大约重量 10 mg）^[9]，因此，在该模型中，当 D_LL 取值为 100 时，恰好能够引起 T 细胞发生特异性增殖；

（8）D_LM = 2×10⁴，每毫克淋巴结中 DCs 的数量上限约 2×10⁴ 个^[14]；

（9）非炎症状态下，2 ≤ α_DB ≤ 125，炎症状态下，100 ≤ α_DB ≤ 6 250。该数值参考 Lin Erickson 等^[16]的相关研究；

（10）δ = 1/72，由于 DCs 在淋巴结内的存活时间大约为 72 h，因此淋巴结中 DCs 的凋亡率 δ 取值为 1/72^[12]；

（12）α_max = 0.1，该数值参考 Lin Erickson 等^[16]的相关研究，使得 T 细胞的增殖速率维持在生物学上合理的范围内；

（13）K₀ = 2.08×10^–7，K₁ = 2.08×10^–5，有研究显示，当 mDCs 经皮下注射 48 h 之后，大约 1% 的 mDCs 迁移至淋巴结^[9]，平均每小时的迁移速率约为 2.08 × 10^–5。由于 DCs 存在两个分化阶段，当 imDCs 与抗原相互作用后，imDCs 逐渐分化为 mDCs。在本研究中，将 mDCs 皮下注射后迁移至淋巴结的迁移率近似地认为是皮肤炎症部位 DCs 的迁移率。因此，令 K₁ = 2.08×10^–5。我们预估炎症初始时期，即抗原浓度尚未达到 A_L 时，DCs 由皮肤迁移到淋巴结的速率更低，因此令 K₀ = 2.08×10^–7。

文中涉及部分变量和参量的单位、定义以及初值如表 1 所示。

2. 实验结果

本研究基于 α_DB 的不同取值以及范围，模拟了 D_S、D_L、Q 随时间变化的曲线以及 K 值随时间变化的曲线。如图 1 所示，α_DB 取值越大，在同一时间点的 D_S 的值越大。D_S 的数值始终大于 D_L，并且当 α_DB 取值越大时，两者差距越明显。当 α_DB 取值为 100 和 500 时，D_L 的值持续增加，即在 250 h 时间域内，D_L 的值始终比 D_LM 小；而当 α_DB 取值为 1 000 和 6 250 时，D_L 能够在 250 h 内到达 D_LM，并且在随后的时间域内保持恒定。α_DB 取值越大，D_L 到达 D_LM 所需要的时间越短，当 α_DB 取值为 1 000 时，D_L 到达 D_LM 所需要的时间为 101 h；当 α_DB 取值为 6 250 时，D_L 到达 D_LM 所需要的时间为 52 h。除此之外，无论 α_DB 取值大小，在 250 h 时间域内，Q 值都持续增大。但是，α_DB 的取值影响 T 细胞启动增殖的时间 t_LL。具体数值如表 2 所示，当 α_DB 取值为 6 250 时，t_LL 为 22 h。当 α_DB 取值 100 时，t_LL 长达 68 h。如图 2 所示，通过对 α_DB 赋值（从 100 到 10 000 之间），计算得出 t_LL，发现 α_DB 与 t_LL 呈幂函数相关性。

图 1.

The curves of the time-varying values of D_S, the D_L and the Q

D_S、D_L 以及 Q 随时间变化的曲线

表 2. The different value of α_DB corresponding to the value of t_LL .

不同的 α_DB 的值对应的 t_LL

αDB	100	500	1 000	6 250
tLL	68 h	43 h	36 h	22 h

图 2.

The value of α_DB have a correlation relationship with the value of t_LL in a power pattern

α_DB 取值与 t_LL 之间呈幂函数相关性

如图 3 所示，α_DB 的取值影响 K 值到达峰值所需要的时间。当 α_DB < 1 000 时，即当 α_DB 取值为 100 和 500 时，在 250 h 的时间域内，K 值随时间持续增加。当 α_DB ≥ 1 000 时，K 值呈现先增加后回落的趋势。α_DB 取值越大，K 到达峰值所需要的时间越短，K 到达的峰值越小。α_DB = 6 250 时，K 值到达峰值所需要的时间最短，为 100 h 左右。

图 3.

The curves of the time-varying values of K

K 值随时间变化的曲线

3. 讨论

DCs 作为体内功能最强的专职抗原呈递细胞，在免疫应答的启动以及调控上起着至关重要的作用。当皮肤出现炎症时，DCs 从外周血迁移至炎症部位摄取并加工处理抗原，随后迁移至二级淋巴结刺激初始 T 细胞发生特异性增殖。在这个过程中，DCs 经历了漫长的迁移运动直至到达淋巴结。本研究通过构建常微分方程，预测了 DCs 在整个迁移过程中数量的动态变化，以及随后在淋巴结内，每毫克淋巴结中 T 细胞的数量与时间的关系。当抗原进入皮肤组织引起炎症后，DCs 由于受到炎性因子的招募，D_S 快速增加，α_DB 取值越大，D_S 越大。随后，DCs 在炎症部位摄取并处理抗原，迁移至淋巴结。由于该模型假设淋巴结内的 DCs 都是由皮肤炎症部位负载抗原的 DCs 迁移而来，因此 D_S 的数值始终大于 D_L。当 α_DB 值为 6 250 时，T 细胞需要 22 h 才能被激活为效应 T 细胞，如果 α_DB 值低于 500，则此时间至少需要 50 h。由于 T 细胞启动增殖时间的延迟主要由于 DCs 与 T 细胞接触并刺激 T 细胞的过程需要 24 h 左右^[15]，因此该模型中，淋巴结内 T 细胞被 DCs 刺激活化后特异性增殖的时间延迟符合现实情况下 T 细胞的增殖特性。且 α_DB 取值越大，即 DCs 从外周血定向迁移至炎症部位的速率越大，T 细胞发生特异性增殖所需要的时间越短，免疫反应效率越高。除此之外，本研究发现，α_DB 的值与 t_LL 呈幂函数关系，意味着能够通过 α_DB 的值预测 T 细胞活化所需要的时间，对免疫应答的效率进行预测。与 Lin Erickson 等^[16]构建的模型相比，本模型更符合炎症启动阶段 DCs 以及 T 细胞数量变化的生理学行为，并且能够对不同时间 DCs 与 T 细胞的数量进行预测，可为研究 DCs 的免疫学功能提供理论参考，进一步为临床治疗免疫相关疾病提供实践指导。

Funding Statement

国家自然科学基金（31660258，31260227，11162003，31771014，11762006）；中国博士后科学基金（2015M582747XB）；教育部科学技术基金重点项目（210196）；贵州省高层次创新型人才培养计划（黔科合平台人才[2016]5676）；贵州省科技创新人才团队（2015-4021）；贵州省2011协同创新计划（2015-04）；贵州省科技合作项目（LH-2015-7336，LH-2016-7375）；贵州省留学归国人员科研基金（2013-8）；贵州省卫计委科学技术基金（gzwjkj2015-1-030）；贵阳市科学技术基金（筑科合同[20161001]029号）